Номер 22.13, страница 163 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

22.13. Угол при вершине равнобедренного треугольника равен $120^\circ$, а высота, проведённая к основанию, $-$ $3\sqrt{3}$ см. Найдите стороны треугольника.

22.13. Угол при вершине равнобедренного треугольника равен 120°, а высота, проведённая к основанию, – $3\sqrt{3}$ см. Найдите стороны треугольника.

Пусть дан равнобедренный треугольник $\triangle ABC$, в котором боковые стороны $AB = BC$, а основание — $AC$. Угол при вершине $\angle B = 120^\circ$. Проведем высоту $BH$ к основанию $AC$. По условию, $BH = 3\sqrt{3}$ см.

Решение:

В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой и биссектрисой.

1. Поскольку $BH$ — биссектриса, она делит угол $\angle B$ пополам:
$\angle ABH = \angle CBH = \frac{\angle B}{2} = \frac{120^\circ}{2} = 60^\circ$.

2. Поскольку $BH$ — высота, она перпендикулярна основанию $AC$, следовательно, треугольники $\triangle ABH$ и $\triangle CBH$ являются прямоугольными ($\angle BHA = 90^\circ$).

3. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ABH$. Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90^\circ$, поэтому:
$\angle BAH = 90^\circ - \angle ABH = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$.

4. Теперь мы можем найти стороны треугольника $\triangle ABH$:
а) Катет $BH$ лежит напротив угла $\angle BAH$, равного $30^\circ$. В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в $30^\circ$, равен половине гипотенузы. Следовательно, гипотенуза $AB$ в два раза больше катета $BH$:
$AB = 2 \cdot BH = 2 \cdot 3\sqrt{3} = 6\sqrt{3}$ см.
б) Найдем второй катет $AH$ через тангенс угла $\angle ABH$:
$\tan(\angle ABH) = \frac{AH}{BH}$
$AH = BH \cdot \tan(60^\circ) = 3\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 3 \cdot 3 = 9$ см.

5. Найдем стороны исходного треугольника $\triangle ABC$:
а) Боковые стороны равны: $AB = BC = 6\sqrt{3}$ см.
б) Поскольку высота $BH$ является и медианой, она делит основание $AC$ пополам: $AH = HC = 9$ см. Тогда длина всего основания:
$AC = 2 \cdot AH = 2 \cdot 9 = 18$ см.

Ответ: боковые стороны треугольника равны $6\sqrt{3}$ см, а основание — $18$ см.