Номер 22.18, страница 163 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

22.18. Высота $AF$ делит сторону $BC$ треугольника $ABC$ на отрезки $BF$ и $CF$. Найдите сторону $AC$, если $CF = \sqrt{13}$ см, $\angle B = 60^{\circ}$, а сторона $AB$ равна 18 см.

22.18. Высота $AF$ делит сторону $BC$ треугольника $ABC$ на отрезки $BF$ и $CF$. Найдите сторону $AC$, если $CF = \sqrt{13}$ см, $\angle B = 60^\circ$, а сторона $AB$ равна 18 см.

Поскольку $AF$ является высотой треугольника $ABC$, проведенной к стороне $BC$, то $AF \perp BC$. Следовательно, высота $AF$ делит треугольник $ABC$ на два прямоугольных треугольника: $\triangle ABF$ и $\triangle ACF$.

Сначала рассмотрим прямоугольный треугольник $ABF$. В нем известны гипотенуза $AB = 18$ см и угол $\angle B = 60^\circ$. Катет $AF$ является высотой исходного треугольника и противолежит углу $B$. Найдем длину $AF$, используя определение синуса:

$\sin(\angle B) = \frac{AF}{AB} \implies AF = AB \cdot \sin(\angle B)$

Подставив известные значения, получим:

$AF = 18 \cdot \sin(60^\circ) = 18 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 9\sqrt{3}$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $ACF$. В нем известны длины двух катетов: $AF = 9\sqrt{3}$ см и $CF = \sqrt{13}$ см (по условию). Искомая сторона $AC$ является гипотенузой этого треугольника. Для ее нахождения применим теорему Пифагора:

$AC^2 = AF^2 + CF^2$

Подставим значения длин катетов и вычислим квадрат гипотенузы:

$AC^2 = (9\sqrt{3})^2 + (\sqrt{13})^2 = (81 \cdot 3) + 13 = 243 + 13 = 256$

Чтобы найти длину стороны $AC$, извлечем квадратный корень из полученного значения:

$AC = \sqrt{256} = 16$ см.

Ответ: 16 см.