Номер 22.21, страница 163 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

22.21. Угол при вершине равнобедренного треугольника равен $\beta$, высота, проведённая к боковой стороне, равна $h$. Найдите основание треугольника.

22.21. Угол при вершине равнобедренного треугольника равен $\beta$, высота, проведённая к боковой стороне, равна $h$. Найдите основание треугольника.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$ и боковыми сторонами $AB = BC$. Угол при вершине $B$ равен $\beta$, то есть $\angle ABC = \beta$. Пусть $AH$ — высота, проведенная из вершины $A$ к боковой стороне $BC$. По условию, $AH = h$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle AHB$. Угол $\angle AHB = 90^\circ$. Вне зависимости от того, является ли угол $\beta$ острым или тупым, $\sin(\angle ABH) = \sin(\beta)$. Из определения синуса в прямоугольном треугольнике $\triangle AHB$ имеем:

$\sin(\angle ABH) = \frac{AH}{AB}$

$\sin(\beta) = \frac{h}{AB}$

Отсюда можем выразить длину боковой стороны $AB$:

$AB = \frac{h}{\sin(\beta)}$

Теперь найдем основание $AC$. Проведем высоту $BK$ из вершины $B$ к основанию $AC$. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также биссектрисой и медианой. Следовательно, $\triangle ABK$ — прямоугольный, $\angle ABK = \frac{\beta}{2}$ и $AC = 2 \cdot AK$.

В прямоугольном треугольнике $\triangle ABK$ катет $AK$ можно выразить через гипотенузу $AB$ и противолежащий угол $\angle ABK$:

$AK = AB \cdot \sin(\angle ABK) = AB \cdot \sin(\frac{\beta}{2})$

Тогда основание $AC$ равно:

$AC = 2 \cdot AK = 2 \cdot AB \cdot \sin(\frac{\beta}{2})$

Подставим ранее найденное выражение для $AB$:

$AC = 2 \cdot \frac{h}{\sin(\beta)} \cdot \sin(\frac{\beta}{2})$

Применим формулу синуса двойного угла $\sin(\beta) = 2 \sin(\frac{\beta}{2}) \cos(\frac{\beta}{2})$:

$AC = \frac{2h \sin(\frac{\beta}{2})}{2 \sin(\frac{\beta}{2}) \cos(\frac{\beta}{2})}$

Сократив $2 \sin(\frac{\beta}{2})$, получим окончательное выражение для основания $AC$:

$AC = \frac{h}{\cos(\frac{\beta}{2})}$

Ответ: $\frac{h}{\cos(\frac{\beta}{2})}$