Номер 22.20, страница 163 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

22.20. Из точки $M$, лежащей вне прямой $l$, проведены к этой прямой наклонные $MN$ и $MK$, образующие с ней углы $30^\circ$ и $45^\circ$ соответственно. Найдите наклонную $MK$, если проекция наклонной $MN$ на прямую $l$ равна $4\sqrt{3}$ см.

22.20. Из точки $M$, лежащей вне прямой $l$, проведены к этой прямой наклонные $MN$ и $MK$, образующие с ней углы $30^\circ$ и $45^\circ$ соответственно. Найдите наклонную $MK$, если проекция наклонной $MN$ на прямую $l$ равна $4\sqrt{3}$ см.

Пусть из точки M на прямую l опущен перпендикуляр MH. Тогда H - основание перпендикуляра. Отрезки MN и MK являются наклонными, проведенными из точки M к прямой l, а отрезки HN и HK — их проекциями на эту прямую. Таким образом, образуются два прямоугольных треугольника: $ΔMHN$ и $ΔMHK$, с общим катетом MH.

Угол между наклонной и прямой — это угол между этой наклонной и её проекцией на прямую. По условию задачи:

• Угол между наклонной MN и прямой l равен $30°$, следовательно, $∠MNH = 30°$.
• Угол между наклонной MK и прямой l равен $45°$, следовательно, $∠MKH = 45°$.
• Проекция наклонной MN на прямую l равна $4\sqrt{3}$ см, следовательно, $HN = 4\sqrt{3}$ см.

Задача решается в два этапа: сначала находим длину перпендикуляра MH из треугольника $ΔMHN$, а затем, зная MH, находим длину наклонной MK из треугольника $ΔMHK$.

1. Нахождение длины перпендикуляра MH

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ΔMHN$ ($∠MHN = 90°$). В этом треугольнике нам известен катет HN (прилежащий к углу $30°$) и сам угол $∠MNH$. Катет MH является противолежащим этому углу. Связь между двумя катетами и углом выражается через тангенс: $tan(∠MNH) = \frac{MH}{HN}$ Выразим MH: $MH = HN \cdot tan(∠MNH)$ Подставим известные значения: $MH = 4\sqrt{3} \cdot tan(30°) = 4\sqrt{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = 4$ см.

2. Нахождение длины наклонной MK

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ΔMHK$ ($∠MHK = 90°$). В этом треугольнике нам известен катет MH = 4 см (противолежащий углу $45°$) и угол $∠MKH = 45°$. Требуется найти гипотенузу MK. Связь между противолежащим катетом, гипотенузой и углом выражается через синус: $sin(∠MKH) = \frac{MH}{MK}$ Выразим MK: $MK = \frac{MH}{sin(∠MKH)}$ Подставим известные значения: $MK = \frac{4}{sin(45°)} = \frac{4}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{4 \cdot 2}{\sqrt{2}} = \frac{8}{\sqrt{2}}$ Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$: $MK = \frac{8 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{8\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2}$ см.

Ответ: $4\sqrt{2}$ см.