Номер 22.23, страница 163 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

22.23. Один из катетов прямоугольного треугольника равен $a$. Угол между другим катетом и высотой, проведённой из вершины прямого угла, равен $\phi$. Найдите неизвестные стороны треугольника и проведённую высоту.

22.23. Один из катетов прямоугольного треугольника равен $a$. Угол между другим катетом и высотой, проведённой из вершины прямого угла, равен $\varphi$. Найдите неизвестные стороны треугольника и проведённую высоту.

Пусть дан прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом при вершине $C$ ($\angle C = 90^\circ$). Обозначим катеты как $AC$ и $BC$, а гипотенузу как $AB$. Проведем высоту $CD$ из вершины $C$ на гипотенузу $AB$.

По условию, один из катетов равен $a$. Без ограничения общности, предположим, что катет $AC = a$. Тогда "другой катет" — это $BC$. Угол между этим катетом ($BC$) и высотой ($CD$) равен $\phi$, то есть $\angle BCD = \phi$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $CDB$. Так как $CD$ — высота, $\angle CDB = 90^\circ$. Сумма острых углов в этом треугольнике равна $90^\circ$, следовательно: $\angle B + \angle BCD = 90^\circ$.

Подставив известное значение $\angle BCD = \phi$, получаем $\angle B = 90^\circ - \phi$.

Теперь рассмотрим исходный прямоугольный треугольник $ABC$. Сумма его острых углов также равна $90^\circ$: $\angle A + \angle B = 90^\circ$. Подставим найденное выражение для угла $B$: $\angle A + (90^\circ - \phi) = 90^\circ$. Отсюда следует, что $\angle A = \phi$.

Таким образом, задача сводится к нахождению элементов прямоугольного треугольника $ABC$, в котором известен катет $AC=a$ и прилежащий к нему острый угол $\angle A = \phi$.

Второй катет $BC$ является противолежащим к углу $A$. Его можно найти, используя определение тангенса в треугольнике $ABC$:

$\tan A = \frac{BC}{AC} \Rightarrow \tan \phi = \frac{BC}{a}$

Отсюда второй катет $BC = a \cdot \tan\phi$.

Гипотенузу $AB$ можно найти, используя определение косинуса в треугольнике $ABC$:

$\cos A = \frac{AC}{AB} \Rightarrow \cos \phi = \frac{a}{AB}$

Отсюда гипотенуза $AB = \frac{a}{\cos\phi}$.

Ответ: второй катет равен $a \cdot \tan\phi$, гипотенуза равна $\frac{a}{\cos\phi}$.

Высоту $CD=h$ можно найти, рассмотрев прямоугольный треугольник $ACD$. В этом треугольнике $AC$ является гипотенузой, а высота $CD$ — катетом, противолежащим углу $A = \phi$. Используем определение синуса:

$\sin A = \frac{CD}{AC} \Rightarrow \sin \phi = \frac{CD}{a}$

Отсюда высота $CD = a \cdot \sin\phi$.

Ответ: высота равна $a \cdot \sin\phi$.