Номер 22.22, страница 163 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

22.22. Высота, проведённая из вершины прямого угла треугольника, равна $h$, острый угол равен $\alpha$. Найдите стороны треугольника.

22.22. Высота, проведённая из вершины прямого угла треугольника, равна $h$, острый угол равен $\alpha$. Найдите стороны треугольника.

Пусть дан прямоугольный треугольник, обозначим его ABC с прямым углом C. Пусть CD — высота, проведённая из вершины прямого угла C на гипотенузу AB. По условию, длина этой высоты $CD = h$.

Пусть один из острых углов треугольника, например $\angle A$, равен $\alpha$. Так как сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, то второй острый угол $\angle B = 180^\circ - 90^\circ - \alpha = 90^\circ - \alpha$.

Высота CD делит исходный треугольник на два меньших прямоугольных треугольника: $\triangle ADC$ и $\triangle BDC$, которые подобны исходному треугольнику и друг другу.

Рассмотрим углы в этих треугольниках:

1. В прямоугольном треугольнике ADC ($\angle ADC = 90^\circ$):
$\angle CAD = \angle A = \alpha$.
Следовательно, $\angle ACD = 90^\circ - \alpha$.

2. В прямоугольном треугольнике BDC ($\angle BDC = 90^\circ$):
$\angle CBD = \angle B = 90^\circ - \alpha$.
Следовательно, $\angle BCD = 90^\circ - (90^\circ - \alpha) = \alpha$.

Теперь мы можем найти стороны исходного треугольника ABC, используя тригонометрические соотношения в треугольниках ADC и BDC.

Нахождение катета AC:
В прямоугольном треугольнике ADC, сторона AC является гипотенузой, а CD = h — катетом, противолежащим углу $\alpha$. Используя определение синуса:

$\sin(\alpha) = \frac{CD}{AC} = \frac{h}{AC}$

Отсюда выражаем катет AC:

$AC = \frac{h}{\sin(\alpha)}$

Нахождение катета BC:
В прямоугольном треугольнике BDC, сторона BC является гипотенузой, а CD = h — катетом, прилежащим к углу $\angle BCD = \alpha$. Используя определение косинуса:

$\cos(\alpha) = \frac{CD}{BC} = \frac{h}{BC}$

Отсюда выражаем катет BC:

$BC = \frac{h}{\cos(\alpha)}$

Нахождение гипотенузы AB:
Гипотенузу AB можно найти как сумму отрезков AD и DB.В $\triangle ADC$: $\text{ctg}(\alpha) = \frac{AD}{CD} \Rightarrow AD = CD \cdot \text{ctg}(\alpha) = h \cdot \text{ctg}(\alpha)$.
В $\triangle BDC$: $\text{tg}(\angle BCD) = \text{tg}(\alpha) = \frac{DB}{CD} \Rightarrow DB = CD \cdot \text{tg}(\alpha) = h \cdot \text{tg}(\alpha)$.

$AB = AD + DB = h \cdot \text{ctg}(\alpha) + h \cdot \text{tg}(\alpha) = h (\frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)} + \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}) = h \frac{\cos^2(\alpha) + \sin^2(\alpha)}{\sin(\alpha)\cos(\alpha)}$

Так как $\cos^2(\alpha) + \sin^2(\alpha) = 1$, получаем:

$AB = \frac{h}{\sin(\alpha)\cos(\alpha)}$

Используя формулу синуса двойного угла $2\sin(\alpha)\cos(\alpha) = \sin(2\alpha)$, можно записать это выражение в виде:

$AB = \frac{2h}{2\sin(\alpha)\cos(\alpha)} = \frac{2h}{\sin(2\alpha)}$

Ответ: катеты треугольника равны $\frac{h}{\sin(\alpha)}$ и $\frac{h}{\cos(\alpha)}$, гипотенуза равна $\frac{h}{\sin(\alpha)\cos(\alpha)}$ (или $\frac{2h}{\sin(2\alpha)}$).