Номер 22.17, страница 163 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

22.17. Высота $BD$ треугольника $ABC$ делит сторону $AC$ на отрезки $AD$ и $CD$ так, что $AD = 12 \text{ см}$, $CD = 4 \text{ см}$. Найдите сторону $BC$, если $\angle A = 30^\circ$.

22.17. Высота BD треугольника ABC делит сторону AC на отрезки AD и CD так, что $AD = 12 \text{ см}$, $CD = 4 \text{ см}$. Найдите сторону BC, если $\angle A = 30^\circ$.

По условию задачи, $BD$ — высота треугольника $ABC$, опущенная на сторону $AC$. Это означает, что отрезок $BD$ перпендикулярен стороне $AC$, и, следовательно, треугольники $ADB$ и $CDB$ являются прямоугольными, с прямыми углами при вершине $D$.

1. Нахождение длины высоты BD

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ADB$. В нём известны длина катета $AD = 12$ см и величина острого угла $\angle A = 30^\circ$. Длину второго катета $BD$ (высоты) можно найти через тангенс угла $A$.

Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к прилежащему:

$\text{tg}(\angle A) = \frac{BD}{AD}$

Выразим из этой формулы $BD$:

$BD = AD \cdot \text{tg}(\angle A)$

Подставим известные значения $AD = 12$ см и $\angle A = 30^\circ$:

$BD = 12 \cdot \text{tg}(30^\circ)$

Значение тангенса $30^\circ$ равно $\frac{\sqrt{3}}{3}$. Вычисляем длину $BD$:

$BD = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = 4\sqrt{3}$ см.

2. Нахождение длины стороны BC

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $CDB$. В нём известны длины двух катетов: $CD = 4$ см (по условию) и $BD = 4\sqrt{3}$ см (найдено на предыдущем шаге). Сторона $BC$ является гипотенузой этого треугольника. Для её нахождения применим теорему Пифагора:

$BC^2 = BD^2 + CD^2$

Подставим известные длины катетов в формулу:

$BC^2 = (4\sqrt{3})^2 + 4^2$

$BC^2 = 16 \cdot 3 + 16$

$BC^2 = 48 + 16$

$BC^2 = 64$

Чтобы найти длину стороны $BC$, извлечём квадратный корень из полученного значения:

$BC = \sqrt{64} = 8$ см.

Ответ: 8 см.