Номер 22.15, страница 163 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

22.15. Диагональ параллелограмма перпендикулярна его стороне и равна $a$. Найдите стороны параллелограмма, если один из его углов равен $30^\circ$.

22.15. Диагональ параллелограмма перпендикулярна его стороне и равна $a$. Найдите стороны параллелограмма, если один из его углов равен $30^\circ$.

Пусть дан параллелограмм $ABCD$. Пусть его стороны $AB = CD$ и $BC = AD$. По условию, один из углов параллелограмма равен $30°$. Так как сумма соседних углов параллелограмма равна $180°$, то углы параллелограмма равны $30°$ и $180° - 30° = 150°$.

По условию, диагональ параллелограмма перпендикулярна его стороне и равна $a$. Возможны несколько конфигураций, которые приводят к одному и тому же результату. Рассмотрим одну из них: диагональ $AC$ перпендикулярна стороне $CD$ и ее длина $AC = a$.

Рассмотрим треугольник $\triangle ADC$, который образован двумя сторонами параллелограмма $AD$, $CD$ и диагональю $AC$. Поскольку $AC \perp CD$, угол $\angle ACD = 90°$. Таким образом, $\triangle ADC$ — прямоугольный треугольник.

Угол параллелограмма при вершине $C$, $\angle BCD$, равен сумме углов $\angle BCA$ и $\angle ACD$. Так как $\angle ACD = 90°$, то угол $\angle BCD$ должен быть тупым. Следовательно, $\angle BCD = 150°$. Угол при вершине $D$, $\angle ADC$, является смежным с ним, значит, он острый: $\angle ADC = 30°$.

В прямоугольном треугольнике $\triangle ADC$ нам известны катет $AC=a$ и противолежащий ему угол $\angle ADC = 30°$. Найдем второй катет $CD$ и гипотенузу $AD$, которые и являются сторонами параллелограмма.

Сторону $CD$ (прилежащий катет) находим из соотношения $\text{tg}(\angle ADC) = \frac{AC}{CD}$: $$ CD = \frac{AC}{\text{tg}(\angle ADC)} = \frac{a}{\text{tg}(30°)} = \frac{a}{1/\sqrt{3}} = a\sqrt{3} $$

Сторону $AD$ (гипотенузу) находим из соотношения $\sin(\angle ADC) = \frac{AC}{AD}$: $$ AD = \frac{AC}{\sin(\angle ADC)} = \frac{a}{\sin(30°)} = \frac{a}{1/2} = 2a $$

Таким образом, стороны параллелограмма равны $a\sqrt{3}$ и $2a$.

Ответ: $a\sqrt{3}$ и $2a$.