Номер 22.27, страница 164 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

22.27. Одна из сторон треугольника равна $a$, прилежащие к ней углы равны $45^\circ$ и $60^\circ$. Найдите высоту треугольника, проведённую к данной стороне.

22.27. Одна из сторон треугольника равна $a$, прилежащие к ней углы равны $45^\circ$ и $60^\circ$. Найдите высоту треугольника, проведённую к данной стороне.

Пусть дан треугольник, обозначим его как ABC. Пусть сторона, длина которой равна $a$, будет BC. Тогда $BC = a$. Прилежащие к ней углы, согласно условию, равны $45^\circ$ и $60^\circ$. Пусть $\angle B = 45^\circ$ и $\angle C = 60^\circ$.

Проведём высоту AH из вершины A к стороне BC. Длину этой высоты обозначим как $h$. Высота AH делит треугольник ABC на два прямоугольных треугольника: $\triangle AHB$ и $\triangle AHC$. Основание высоты H лежит на отрезке BC, так как углы при основании B и C — острые.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle AHB$ ($\angle AHB = 90^\circ$). В нём известен угол $\angle B = 45^\circ$. Мы можем выразить отрезок BH через высоту $h$ с помощью тангенса угла B: $\tan(\angle B) = \frac{AH}{BH}$ $\tan(45^\circ) = \frac{h}{BH}$ Так как $\tan(45^\circ) = 1$, получаем: $1 = \frac{h}{BH}$, откуда следует, что $BH = h$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle AHC$ ($\angle AHC = 90^\circ$). В нём известен угол $\angle C = 60^\circ$. Аналогично выразим отрезок HC через высоту $h$: $\tan(\angle C) = \frac{AH}{HC}$ $\tan(60^\circ) = \frac{h}{HC}$ Так как $\tan(60^\circ) = \sqrt{3}$, получаем: $\sqrt{3} = \frac{h}{HC}$, откуда следует, что $HC = \frac{h}{\sqrt{3}}$.

Сторона BC состоит из двух отрезков BH и HC: $BC = BH + HC$ Подставим в это равенство известные нам выражения для BC, BH и HC: $a = h + \frac{h}{\sqrt{3}}$

Решим полученное уравнение относительно $h$. Вынесем $h$ за скобки: $a = h \left(1 + \frac{1}{\sqrt{3}}\right)$ Приведём выражение в скобках к общему знаменателю: $a = h \left(\frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3}}\right)$ Выразим $h$: $h = \frac{a \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} + 1}$

Чтобы упростить ответ, избавимся от иррациональности в знаменателе. Для этого умножим числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряжённое знаменателю, то есть на $(\sqrt{3} - 1)$: $h = \frac{a\sqrt{3}(\sqrt{3} - 1)}{(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} - 1)}$ В знаменателе применим формулу разности квадратов $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$: $h = \frac{a\sqrt{3}(\sqrt{3} - 1)}{(\sqrt{3})^2 - 1^2} = \frac{a(3 - \sqrt{3})}{3 - 1} = \frac{a(3 - \sqrt{3})}{2}$

Ответ: $\frac{a(3 - \sqrt{3})}{2}$