Номер 23.2, страница 171 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

23.2. Сторона прямоугольника равна 15 см и образует с диагональю угол $30^\circ$. Найдите площадь прямоугольника.

23.2. Сторона прямоугольника равна 15 см и образует с диагональю угол 30°. Найдите площадь прямоугольника.

Пусть дан прямоугольник, в котором одна из сторон равна 15 см. Обозначим эту сторону как $a$. Диагональ этого прямоугольника образует с данной стороной угол в 30°. Обозначим вторую сторону прямоугольника как $b$.

Сторона $a$, сторона $b$ и диагональ $d$ образуют прямоугольный треугольник, где $a$ и $b$ являются катетами, а $d$ — гипотенузой. В этом треугольнике сторона $a$ является прилежащим катетом к углу 30°, а сторона $b$ — противолежащим катетом.

Соотношение между катетами в прямоугольном треугольнике выражается через тангенс угла:$\tan(30^\circ) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{b}{a}$

Мы знаем, что $a = 15$ см и $\tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}}$. Можем найти длину стороны $b$:$b = a \cdot \tan(30^\circ) = 15 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{15}{\sqrt{3}}$

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:$b = \frac{15 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{15\sqrt{3}}{3} = 5\sqrt{3}$ см.

Площадь прямоугольника $S$ равна произведению его сторон:$S = a \cdot b$

Подставим найденные значения:$S = 15 \cdot 5\sqrt{3} = 75\sqrt{3}$ см².

Ответ: $75\sqrt{3}$ см².