Номер 22.25, страница 164 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

22.25. Острый угол ромба равен $\alpha$, радиус вписанной окружности — $r$.

Найдите сторону и диагонали ромба.

22.25. Острый угол ромба равен $\alpha$, радиус вписанной окружности – $r$.

Найдите сторону и диагонали ромба.

Сторона

Пусть сторона ромба равна $a$, а его высота — $h$. Высота ромба равна диаметру вписанной окружности, то есть $h = 2r$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный стороной ромба $a$ (гипотенуза), высотой $h$ (катет) и острым углом $\alpha$. В этом треугольнике синус острого угла определяется как отношение противолежащего катета (высоты) к гипотенузе (стороне):

$\sin(\alpha) = \frac{h}{a}$

Подставим значение высоты $h = 2r$:

$\sin(\alpha) = \frac{2r}{a}$

Отсюда выразим сторону ромба $a$:

$a = \frac{2r}{\sin(\alpha)}$

Ответ: $\frac{2r}{\sin(\alpha)}$

Диагонали

Пусть диагонали ромба равны $d_1$ и $d_2$. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны, точкой пересечения делятся пополам и являются биссектрисами его углов. Таким образом, они делят ромб на четыре равных прямоугольных треугольника.

Рассмотрим один из таких треугольников. Его гипотенуза — это сторона ромба $a$, катеты — половины диагоналей ($\frac{d_1}{2}$ и $\frac{d_2}{2}$), а острые углы равны $\frac{\alpha}{2}$ и $90^\circ - \frac{\alpha}{2}$.

Выразим половины диагоналей через сторону $a$ и угол $\frac{\alpha}{2}$:

$\sin(\frac{\alpha}{2}) = \frac{d_1/2}{a} \implies d_1 = 2a \sin(\frac{\alpha}{2})$

$\cos(\frac{\alpha}{2}) = \frac{d_2/2}{a} \implies d_2 = 2a \cos(\frac{\alpha}{2})$

Теперь подставим ранее найденное выражение для стороны $a = \frac{2r}{\sin(\alpha)}$ в формулы для диагоналей.

Для диагонали $d_1$ (меньшая диагональ, противолежащая острому углу $\alpha$):

$d_1 = 2 \cdot \frac{2r}{\sin(\alpha)} \cdot \sin(\frac{\alpha}{2}) = \frac{4r \sin(\frac{\alpha}{2})}{\sin(\alpha)}$

Используя формулу синуса двойного угла $\sin(\alpha) = 2\sin(\frac{\alpha}{2})\cos(\frac{\alpha}{2})$, упростим выражение:

$d_1 = \frac{4r \sin(\frac{\alpha}{2})}{2\sin(\frac{\alpha}{2})\cos(\frac{\alpha}{2})} = \frac{2r}{\cos(\frac{\alpha}{2})}$

Для диагонали $d_2$ (большая диагональ, противолежащая тупому углу):

$d_2 = 2 \cdot \frac{2r}{\sin(\alpha)} \cdot \cos(\frac{\alpha}{2}) = \frac{4r \cos(\frac{\alpha}{2})}{\sin(\alpha)}$

Аналогично, используя формулу синуса двойного угла:

$d_2 = \frac{4r \cos(\frac{\alpha}{2})}{2\sin(\frac{\alpha}{2})\cos(\frac{\alpha}{2})} = \frac{2r}{\sin(\frac{\alpha}{2})}$

Ответ: $\frac{2r}{\cos(\frac{\alpha}{2})}$ и $\frac{2r}{\sin(\frac{\alpha}{2})}$