Номер 22.6, страница 162 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

22.6. В прямоугольном треугольнике один из катетов равен 12 см, а $\tan \alpha = 0,75$. Найдите другой катет и гипотенузу треугольника.

22.6. В прямоугольном треугольнике один из катетов равен 12 см, а тангенс прилежащего угла — $0,75$. Найдите другой катет и гипотенузу треугольника.

Пусть дан прямоугольный треугольник. Обозначим его катеты как $a$ и $b$, а гипотенузу — $c$.

По условию, один из катетов равен 12 см. Пусть это будет катет $b$, то есть $b = 12$ см.

Тангенс прилежащего к этому катету угла (обозначим его как $\alpha$) равен 0,75. Таким образом, $\tan(\alpha) = 0,75$.

Другой катет

Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике определяется как отношение противолежащего катета к прилежащему. Для угла $\alpha$ противолежащим катетом является $a$, а прилежащим — $b$.

$\tan(\alpha) = \frac{a}{b}$

Подставим известные значения в эту формулу:

$0,75 = \frac{a}{12}$

Выразим из этого уравнения катет $a$:

$a = 0,75 \cdot 12$

Так как $0,75 = \frac{3}{4}$, получаем:

$a = \frac{3}{4} \cdot 12 = 3 \cdot 3 = 9$ см.

Ответ: 9 см.

Гипотенуза

Теперь, зная длины обоих катетов ($a = 9$ см и $b = 12$ см), мы можем найти длину гипотенузы $c$ с помощью теоремы Пифагора:

$c^2 = a^2 + b^2$

Подставим значения катетов:

$c^2 = 9^2 + 12^2$

$c^2 = 81 + 144$

$c^2 = 225$

Чтобы найти $c$, извлечем квадратный корень:

$c = \sqrt{225} = 15$ см.

Ответ: 15 см.