Номер 21.29, страница 158 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

21.29. Окружность, центр которой принадлежит стороне $AC$ треугольника $ABC$, касается сторон $AB$ и $BC$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Докажите, что отрезки $CM$, $AN$ и высота $BF$ треугольника $ABC$ пересекаются в одной точке.

21.29. Окружность, центр которой принадлежит стороне $AC$ треугольника $ABC$, касается сторон $AB$ и $BC$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Докажите, что отрезки $CM$, $AN$ и высота $BF$ треугольника $ABC$ пересекаются в одной точке.

Для доказательства того, что отрезки $CM$, $AN$ и высота $BF$ пересекаются в одной точке, воспользуемся теоремой Чевы в тригонометрической форме или в форме отношений отрезков. Удобнее использовать форму отношений.

Согласно обратной теореме Чевы для треугольника $ABC$ и точек $M$ на стороне $AB$, $N$ на стороне $BC$ и $F$ на стороне $AC$, чевианы $AN$, $CM$ и $BF$ пересекаются в одной точке, если выполняется равенство:

$$ \frac{AM}{MB} \cdot \frac{BN}{NC} \cdot \frac{CF}{FA} = 1 $$

Найдем каждое из этих отношений.

1. Отношения, связанные с окружностью.

Пусть $O$ — центр окружности, который по условию лежит на стороне $AC$, и $R$ — ее радиус. Так как окружность касается сторон $AB$ и $BC$, то ее центр $O$ равноудален от этих сторон. Это означает, что точка $O$ лежит на биссектрисе угла $B$. Следовательно, отрезок $BO$ является биссектрисой угла $ABC$.

По определению касательной, радиусы, проведенные в точки касания, перпендикулярны касательным: $OM \perp AB$ и $ON \perp BC$. Значит, $OM = ON = R$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle OMA$, $\triangle ONC$ и $\triangle OMB$.

• В $\triangle OMA$ катет $OM = R$, а угол $\angle OAM = \angle A$. Тогда $AM = \frac{OM}{\tan A} = R \cot A$.
• В $\triangle ONC$ катет $ON = R$, а угол $\angle OCN = \angle C$. Тогда $NC = \frac{ON}{\tan C} = R \cot C$.
• Отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны. Значит, $BM = BN$.
• В $\triangle OMB$ катет $OM = R$, а угол $\angle MBO = \frac{\angle B}{2}$ (так как $BO$ - биссектриса). Тогда $MB = \frac{OM}{\tan(B/2)} = R \cot(B/2)$.

Таким образом, мы имеем: $BM = BN = R \cot(B/2)$.

Теперь мы можем найти первые два отношения для теоремы Чевы:

$$ \frac{AM}{MB} = \frac{R \cot A}{R \cot(B/2)} = \frac{\cot A}{\cot(B/2)} $$ $$ \frac{BN}{NC} = \frac{R \cot(B/2)}{R \cot C} = \frac{\cot(B/2)}{\cot C} $$

2. Отношение, связанное с высотой.

$BF$ — высота, проведенная к стороне $AC$, значит $BF \perp AC$. Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle BFA$ и $\triangle BFC$.

• В $\triangle BFA$ имеем $\tan A = \frac{BF}{AF}$, откуда $AF = \frac{BF}{\tan A} = BF \cot A$.
• В $\triangle BFC$ имеем $\tan C = \frac{BF}{CF}$, откуда $CF = \frac{BF}{\tan C} = BF \cot C$.

Тогда третье отношение равно:

$$ \frac{CF}{FA} = \frac{BF \cot C}{BF \cot A} = \frac{\cot C}{\cot A} $$

3. Проверка условия теоремы Чевы.

Подставим найденные отношения в произведение:

$$ \frac{AM}{MB} \cdot \frac{BN}{NC} \cdot \frac{CF}{FA} = \left(\frac{\cot A}{\cot(B/2)}\right) \cdot \left(\frac{\cot(B/2)}{\cot C}\right) \cdot \left(\frac{\cot C}{\cot A}\right) $$

Сокращая одинаковые множители в числителе и знаменателе, получаем:

$$ \frac{\cot A \cdot \cot(B/2) \cdot \cot C}{\cot(B/2) \cdot \cot C \cdot \cot A} = 1 $$

Так как условие обратной теоремы Чевы выполняется, то отрезки (чевианы) $CM$, $AN$ и $BF$ пересекаются в одной точке. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано, отрезки CM, AN и высота BF пересекаются в одной точке.