Номер 21.28, страница 158 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

21.28. Используя теорему Чевы, докажите, что высоты остроугольного треугольника пересекаются в одной точке.

21.28. Используя теорему Чевы, докажите, что высоты остроугольного треугольника пересекаются в одной точке.

Рассмотрим остроугольный треугольник $ABC$. Пусть $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$ — его высоты, проведенные к сторонам $BC$, $AC$ и $AB$ соответственно. Так как треугольник $ABC$ является остроугольным, основания высот — точки $A_1$, $B_1$ и $C_1$ — лежат на сторонах треугольника, а не на их продолжениях.

Для доказательства того, что высоты треугольника пересекаются в одной точке, мы воспользуемся теоремой Чевы. Согласно этой теореме, три чевианы (отрезки, соединяющие вершину треугольника с точкой на противоположной стороне) $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$ пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда выполняется следующее равенство: $$ \frac{AC_1}{C_1B} \cdot \frac{BA_1}{A_1C} \cdot \frac{CB_1}{B_1A} = 1 $$

Наша задача — проверить, выполняется ли это равенство для высот. Для этого выразим длины отрезков, на которые высоты делят стороны, через элементы треугольника $ABC$. Обозначим углы треугольника как $\angle A$, $\angle B$, $\angle C$, а длины противолежащих им сторон как $a$, $b$, $c$.

1. Из прямоугольного треугольника $\triangle AC_1C$ (где $\angle AC_1C = 90^\circ$) находим катет $AC_1$: $AC_1 = AC \cdot \cos(\angle A) = b \cdot \cos A$. Из прямоугольного треугольника $\triangle BC_1C$ (где $\angle BC_1C = 90^\circ$) находим катет $C_1B$: $C_1B = BC \cdot \cos(\angle B) = a \cdot \cos B$. Таким образом, первое отношение равно: $$ \frac{AC_1}{C_1B} = \frac{b \cos A}{a \cos B} $$

2. Из прямоугольного треугольника $\triangle BA_1A$ (где $\angle BA_1A = 90^\circ$) находим катет $BA_1$: $BA_1 = AB \cdot \cos(\angle B) = c \cdot \cos B$. Из прямоугольного треугольника $\triangle CA_1A$ (где $\angle CA_1A = 90^\circ$) находим катет $A_1C$: $A_1C = AC \cdot \cos(\angle C) = b \cdot \cos C$. Таким образом, второе отношение равно: $$ \frac{BA_1}{A_1C} = \frac{c \cos B}{b \cos C} $$

3. Из прямоугольного треугольника $\triangle CB_1B$ (где $\angle CB_1B = 90^\circ$) находим катет $CB_1$: $CB_1 = BC \cdot \cos(\angle C) = a \cdot \cos C$. Из прямоугольного треугольника $\triangle AB_1B$ (где $\angle AB_1B = 90^\circ$) находим катет $B_1A$: $B_1A = AB \cdot \cos(\angle A) = c \cdot \cos A$. Таким образом, третье отношение равно: $$ \frac{CB_1}{B_1A} = \frac{a \cos C}{c \cos A} $$

Теперь перемножим полученные отношения, чтобы проверить условие теоремы Чевы: $$ \frac{AC_1}{C_1B} \cdot \frac{BA_1}{A_1C} \cdot \frac{CB_1}{B_1A} = \left(\frac{b \cos A}{a \cos B}\right) \cdot \left(\frac{c \cos B}{b \cos C}\right) \cdot \left(\frac{a \cos C}{c \cos A}\right) $$

Сгруппируем и сократим множители в числителе и знаменателе: $$ \frac{(a \cdot b \cdot c) \cdot (\cos A \cdot \cos B \cdot \cos C)}{(a \cdot b \cdot c) \cdot (\cos B \cdot \cos C \cdot \cos A)} = 1 $$

Равенство выполняется. Следовательно, по теореме Чевы, высоты остроугольного треугольника $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$ пересекаются в одной точке.

Ответ: Что и требовалось доказать.