Номер 22.5, страница 162 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

22.5. Катет прямоугольного треугольника равен 48 см, а тангенс противолежащего угла – $3\frac{3}{7}$. Найдите другой катет и гипотенузу треугольника.

22.5. Катет прямоугольного треугольника равен 48 см, а тангенс противолежащего угла — $3\frac{3}{7}$. Найдите другой катет и гипотенузу треугольника.

Пусть в прямоугольном треугольнике катеты равны $a$ и $b$, а гипотенуза – $c$. По условию, один катет равен 48 см, а тангенс противолежащего ему угла $\alpha$ равен $3\frac{3}{7}$. Примем, что $a = 48$ см.

Сначала переведем смешанную дробь в неправильную: $ \tan(\alpha) = 3\frac{3}{7} = \frac{3 \cdot 7 + 3}{7} = \frac{21 + 3}{7} = \frac{24}{7} $.

Нахождение другого катета

Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение противолежащего катета к прилежащему. Для угла $\alpha$ это отношение выглядит так: $ \tan(\alpha) = \frac{a}{b} $.

Подставим известные значения в формулу: $ \frac{24}{7} = \frac{48}{b} $.

Из этого уравнения найдём длину второго катета $b$: $ 24 \cdot b = 48 \cdot 7 $ $ b = \frac{48 \cdot 7}{24} = 2 \cdot 7 = 14 $ см.
Ответ: другой катет равен 14 см.

Нахождение гипотенузы

Для нахождения гипотенузы $c$ воспользуемся теоремой Пифагора, которая гласит, что сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы: $ c^2 = a^2 + b^2 $.

Подставим найденные длины катетов $a = 48$ см и $b = 14$ см: $ c^2 = 48^2 + 14^2 = 2304 + 196 = 2500 $.

Извлекая квадратный корень из полученного значения, находим длину гипотенузы: $ c = \sqrt{2500} = 50 $ см.
Ответ: гипотенуза равна 50 см.