Номер 22.3, страница 162 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

22.3. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 17 см, а синус одного из острых углов — $\frac{8}{17}$. Найдите катеты треугольника.

22.3. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 17 см, а синус одного из острых углов — ${8 \over 17}$. Найдите катеты треугольника.

Пусть дан прямоугольный треугольник, где $c$ – гипотенуза, а $a$ и $b$ – катеты.

По условию задачи, гипотенуза $c = 17$ см, а синус одного из острых углов, назовем его $\alpha$, равен $\sin(\alpha) = \frac{8}{17}$.

Синус острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение противолежащего катета к гипотенузе. Если катет $a$ противолежит углу $\alpha$, то:

$\sin(\alpha) = \frac{a}{c}$

Подставим известные значения в формулу:

$\frac{8}{17} = \frac{a}{17}$

Отсюда находим длину катета $a$:

$a = 8$ см.

Теперь найдем второй катет $b$, используя теорему Пифагора: $a^2 + b^2 = c^2$.

Выразим $b^2$ из уравнения:

$b^2 = c^2 - a^2$

Подставим известные значения $a = 8$ и $c = 17$:

$b^2 = 17^2 - 8^2 = 289 - 64 = 225$

Найдем $b$, извлекая квадратный корень:

$b = \sqrt{225} = 15$ см.

Таким образом, длины катетов треугольника равны 8 см и 15 см.

Ответ: 8 см и 15 см.