Номер 21.24, страница 158 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

21.24. В равнобедренном треугольнике $ABC$ отношение высоты $BD$ к основанию $AC$ равно $\sqrt{3}$. На стороне $BC$ отметили точку $M$ так, что $BM : MC = 1 : 2$. Найдите угол $MAC$.

21.24. В равнобедренном треугольнике $ABC$ отношение высоты $BD$ к основанию $AC$ равно $\sqrt{3}$. На стороне $BC$ отметили точку $M$ так, что $BM : MC = 1 : 2$. Найдите угол $MAC$.

Пусть $ABC$ — равнобедренный треугольник с основанием $AC$. Высота $BD$, проведенная к основанию, в равнобедренном треугольнике является также и медианой, поэтому точка $D$ — середина отрезка $AC$.

Введем переменную для длин сторон. Пусть половина основания $DC = a$. Тогда все основание $AC = 2a$.

Из условия задачи дано отношение высоты к основанию:
$\frac{BD}{AC} = \sqrt{3}$
Подставим известное значение $AC = 2a$:
$\frac{BD}{2a} = \sqrt{3} \implies BD = 2a\sqrt{3}$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $BDC$. По теореме Пифагора найдем длину боковой стороны $BC$:
$BC^2 = BD^2 + DC^2 = (2a\sqrt{3})^2 + a^2 = 12a^2 + a^2 = 13a^2$
$BC = \sqrt{13a^2} = a\sqrt{13}$.

Точка $M$ делит сторону $BC$ в отношении $BM : MC = 1 : 2$. Это означает, что отрезок $BC$ состоит из $1+2=3$ частей. Тогда длина отрезка $MC$ составляет две трети от длины $BC$:
$MC = \frac{2}{3} BC = \frac{2}{3} a\sqrt{13}$.

Для нахождения искомого угла $MAC$ воспользуемся координатным методом или тригонометрическим подходом. Рассмотрим второй. Опустим из точки $M$ перпендикуляр $MH$ на прямую $AC$. Угол $MAC$ — это угол $MAH$ в прямоугольном треугольнике $AMH$. Чтобы найти его, нам нужно найти длины катетов $MH$ и $AH$.

Длины $MH$ и $HC$ можно найти из прямоугольного треугольника $MHC$, зная сторону $MC$ и угол $C$. Найдем синус и косинус угла $C$ из треугольника $BDC$:
$\cos(\angle C) = \frac{DC}{BC} = \frac{a}{a\sqrt{13}} = \frac{1}{\sqrt{13}}$
$\sin(\angle C) = \frac{BD}{BC} = \frac{2a\sqrt{3}}{a\sqrt{13}} = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{13}}$

Теперь в треугольнике $MHC$:
$MH = MC \cdot \sin(\angle C) = \frac{2a\sqrt{13}}{3} \cdot \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{13}} = \frac{4a\sqrt{3}}{3}$
$HC = MC \cdot \cos(\angle C) = \frac{2a\sqrt{13}}{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{13}} = \frac{2a}{3}$

Зная $AC$ и $HC$, найдем длину отрезка $AH$:
$AH = AC - HC = 2a - \frac{2a}{3} = \frac{6a - 2a}{3} = \frac{4a}{3}$

Теперь, в прямоугольном треугольнике $AMH$ мы можем найти тангенс угла $MAC$:
$\text{tg}(\angle MAC) = \frac{MH}{AH} = \frac{\frac{4a\sqrt{3}}{3}}{\frac{4a}{3}} = \sqrt{3}$

Если тангенс угла равен $\sqrt{3}$, то сам угол равен $60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$.