Номер 21.19, страница 157 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

21.19. Катеты прямоугольного треугольника равны 30 см и 40 см. Найдите синус, косинус, тангенс и котангенс угла между медианой и высотой, проведёнными к гипотенузе.

21.19. Катеты прямоугольного треугольника равны 30 см и 40 см. Найдите синус, косинус, тангенс и котангенс угла между медианой и высотой, проведёнными к гипотенузе.

Пусть дан прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $C$. Катеты равны $AC = 30$ см и $BC = 40$ см. Проведем к гипотенузе $AB$ высоту $CH$ и медиану $CM$. Нам необходимо найти тригонометрические функции угла $\angle HCM$.

1. Найдем длину гипотенузы $AB$ по теореме Пифагора:
$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{30^2 + 40^2} = \sqrt{900 + 1600} = \sqrt{2500} = 50$ см.

2. Найдем длину медианы $CM$. В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная из вершины прямого угла к гипотенузе, равна половине гипотенузы:
$CM = \frac{1}{2}AB = \frac{50}{2} = 25$ см.

3. Найдем длину высоты $CH$. Площадь треугольника $ABC$ можно выразить двумя способами:
$S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 30 \cdot 40 = 600$ см$^2$.
Также $S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CH$. Отсюда:
$CH = \frac{2S}{AB} = \frac{2 \cdot 600}{50} = \frac{1200}{50} = 24$ см.

4. Найдем длину отрезка $HM$. Для этого рассмотрим прямоугольный треугольник $CHM$ (угол $\angle CHM = 90^\circ$, так как $CH$ — высота). Нам нужно найти катет $HM$.
Точка $M$ является серединой гипотенузы $AB$, поэтому $AM = \frac{1}{2}AB = 25$ см.
Найдем проекцию катета $AC$ на гипотенузу, то есть отрезок $AH$.
$AH = \frac{AC^2}{AB} = \frac{30^2}{50} = \frac{900}{50} = 18$ см.
Отрезок $HM$ является разностью между $AM$ и $AH$:
$HM = AM - AH = 25 - 18 = 7$ см.

Итак, мы имеем прямоугольный треугольник $CHM$ со сторонами: катет $CH=24$ см, катет $HM=7$ см и гипотенуза $CM=25$ см. Теперь мы можем найти все искомые тригонометрические функции для угла $\angle HCM$.

синус
Синус острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение противолежащего катета к гипотенузе.
$\sin(\angle HCM) = \frac{HM}{CM} = \frac{7}{25}$.
Ответ: $\frac{7}{25}$.

косинус
Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение прилежащего катета к гипотенузе.
$\cos(\angle HCM) = \frac{CH}{CM} = \frac{24}{25}$.
Ответ: $\frac{24}{25}$.

тангенс
Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение противолежащего катета к прилежащему.
$\tan(\angle HCM) = \frac{HM}{CH} = \frac{7}{24}$.
Ответ: $\frac{7}{24}$.

котангенс
Котангенс острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение прилежащего катета к противолежащему.
$\cot(\angle HCM) = \frac{CH}{HM} = \frac{24}{7}$.
Ответ: $\frac{24}{7}$.