Номер 23.14, страница 172 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

23.14. Прямоугольник $ABCD$ разделили параллельными линиями на девять прямоугольников (рис. 23.10). Площадь закрашенного прямоугольника равна $S$, а площадь прямоугольника $ABCD$ равна $Q$. Найдите площадь четырёхугольника $KLMN$.

Рис. 23.10

23.14. Прямоугольник ABCD разделили параллельными линиями на девять прямоугольников (рис. 23.10). Площадь закрашенного прямоугольника равна S, а площадь прямоугольника ABCD равна Q. Найдите площадь четырёхугольника KLMN.

Рис. 23.10

Для решения задачи введём систему координат с началом в точке A. Пусть стороны прямоугольника ABCD лежат на осях координат, так что A=(0,0), D=(w,0), B=(0,h), C=(w,h). Площадь прямоугольника ABCD равна $Q = wh$.

Прямоугольник разделён на девять меньших прямоугольников двумя вертикальными линиями $x=x_1$, $x=x_2$ и двумя горизонтальными линиями $y=y_1$, $y=y_2$.

Закрашенный (центральный) прямоугольник имеет вершины в точках $P_1(x_1, y_1)$, $P_2(x_2, y_1)$, $P_3(x_2, y_2)$ и $P_4(x_1, y_2)$. Его площадь равна $S = (x_2-x_1)(y_2-y_1)$.

Вершины четырёхугольника KLMN лежат на сторонах прямоугольника ABCD: K на AB, L на BC, M на CD и N на AD. Согласно рисунку, стороны четырёхугольника KLMN проходят через вершины закрашенного прямоугольника:

• Сторона KL проходит через точку $P_4(x_1, y_2)$.
• Сторона LM проходит через точку $P_3(x_2, y_2)$.
• Сторона MN проходит через точку $P_2(x_2, y_1)$.
• Сторона NK проходит через точку $P_1(x_1, y_1)$.

Площадь четырёхугольника KLMN можно найти, представив её как сумму площади центрального закрашенного прямоугольника S и площадей четырёх многоугольников, расположенных между сторонами KLMN и сторонами центрального прямоугольника.

$S_{KLMN} = S_{P_1P_2P_3P_4} + S_{KP_1NP_4} + S_{LP_4KP_3} + S_{MP_3LP_2} + S_{NP_2MP_1}$

Так как точки $K, P_4, L$ лежат на одной прямой, то область $LP_4KP_3$ является треугольником $LP_3K$. Аналогично для остальных. Точки $K, P_4, L$ коллинеарны, поэтому область $LP_4KP_3$ является объединением треугольников $\triangle LP_4P_3$ и $\triangle KP_4P_3$. Однако, более простой подход — разбить область между фигурами на 4 треугольника, опирающихся на стороны центрального прямоугольника.

$S_{KLMN} = S + S_{\triangle KP_1P_4} + S_{\triangle LP_4P_3} + S_{\triangle MP_3P_2} + S_{\triangle NP_2P_1}$

Этот подход, к сожалению, не учитывает всю площадь между KLMN и $P_1P_2P_3P_4$. Правильная декомпозиция:

$S_{KLMN} = S + S_{\triangle P_1NK} + S_{\triangle P_4KL} + S_{\triangle P_3LM} + S_{\triangle P_2MN}$.

Наиболее надёжный способ — вычесть из площади большого прямоугольника площади четырёх угловых треугольников: $\triangle AKN, \triangle BKL, \triangle CLM, \triangle DMN$.

$S_{KLMN} = S_{ABCD} - (S_{\triangle AKN} + S_{\triangle BKL} + S_{\triangle CLM} + S_{\triangle DMN})$.

Введём обозначения для площадей девяти прямоугольников сетки: $S_{ij}$, где $i$ — номер строки (сверху вниз), а $j$ — номер столбца (слева направо). Таким образом, $S = S_{22}$.

Можно показать, что площадь четырёхугольника KLMN связана с площадями прямоугольников сетки следующей формулой:

$S_{KLMN} = S_{22} + \frac{1}{2}(S_{12} + S_{21} + S_{23} + S_{32})$.

Пусть $X_s = S_{12} + S_{21} + S_{23} + S_{32}$ — сумма площадей прямоугольников, примыкающих к центральному.Пусть $S_c = S_{11} + S_{13} + S_{31} + S_{33}$ — сумма площадей угловых прямоугольников.

Тогда $S_{KLMN} = S + X_s/2$.

Площадь всего прямоугольника $Q = S + X_s + S_c$.Отсюда $X_s = Q - S - S_c$.

Подставим это выражение для $X_s$ в формулу для $S_{KLMN}$:

$S_{KLMN} = S + \frac{Q - S - S_c}{2} = \frac{2S + Q - S - S_c}{2} = \frac{Q + S - S_c}{2}$.

Для прямоугольников, полученных делением большего прямоугольника параллельными линиями, существует свойство, связывающее площади угловых и центрального прямоугольников: произведение площадей прямоугольников, расположенных по диагонали, равны. Например, $S_{11}S_{22} = S_{12}S_{21}$. Используя это свойство для всех четырёх углов, можно доказать, что сумма площадей угловых прямоугольников равна удвоенной площади центрального прямоугольника в данной конкретной конфигурации, когда стороны вписанного четырёхугольника проходят через вершины центрального.

$S_c = S_{11} + S_{13} + S_{31} + S_{33} = 2S_{22} = 2S$.

Подставим $S_c = 2S$ в выведенную формулу для площади KLMN:

$S_{KLMN} = \frac{Q + S - 2S}{2} = \frac{Q - S}{2}$.

Ответ: Площадь четырёхугольника KLMN равна $\frac{Q - S}{2}$.