Номер 24.6, страница 175 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

24.6. Диагональ параллелограмма, равная 18 см, перпендикулярна одной из сторон и образует угол $30^\circ$ с другой стороной. Найдите площадь параллелограмма.

24.6. Диагональ параллелограмма, равная 18 см, перпендикулярна одной из сторон и образует угол 30° с другой стороной. Найдите площадь параллелограмма.

Пусть дан параллелограмм $ABCD$. Пусть его диагональ $AC = 18$ см.

По условию задачи, диагональ перпендикулярна одной из сторон. Допустим, диагональ, выходящая из вершины $A$, перпендикулярна стороне $AD$. Это означает, что угол $\angle CAD = 90^\circ$.

Также по условию, эта диагональ образует угол $30^\circ$ с другой стороной, выходящей из той же вершины $A$. Этой стороной является $AB$. Значит, $\angle CAB = 30^\circ$.

Таким образом, угол параллелограмма при вершине $A$ равен сумме этих двух углов:
$\angle DAB = \angle CAD + \angle CAB = 90^\circ + 30^\circ = 120^\circ$.

Рассмотрим треугольник $\triangle ABC$. Сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$, поэтому угол при вершине $B$ равен:
$\angle ABC = 180^\circ - \angle DAB = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.

Теперь мы знаем два угла в треугольнике $\triangle ABC$: $\angle CAB = 30^\circ$ и $\angle ABC = 60^\circ$. Найдем третий угол:
$\angle BCA = 180^\circ - (\angle CAB + \angle ABC) = 180^\circ - (30^\circ + 60^\circ) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$.

Это означает, что $\triangle ABC$ — прямоугольный треугольник, в котором $AC$ и $BC$ являются катетами. Зная катет $AC=18$ см и прилежащий к нему острый угол $\angle CAB = 30^\circ$, найдем длину второго катета $BC$:
$BC = AC \cdot \tan(\angle CAB) = 18 \cdot \tan(30^\circ) = 18 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{18\sqrt{3}}{3} = 6\sqrt{3}$ см.

По свойству параллелограмма, его противоположные стороны равны, следовательно, $AD = BC = 6\sqrt{3}$ см.

Площадь параллелограмма равна удвоенной площади треугольника, на которые его делит диагональ. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ADC$. Мы знаем, что $\angle CAD = 90^\circ$, поэтому его площадь равна половине произведения катетов $AD$ и $AC$:
$S_{\triangle ADC} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot (6\sqrt{3}) \cdot 18 = 3\sqrt{3} \cdot 18 = 54\sqrt{3}$ см$^2$.

Площадь всего параллелограмма $ABCD$ в два раза больше:
$S_{ABCD} = 2 \cdot S_{\triangle ADC} = 2 \cdot 54\sqrt{3} = 108\sqrt{3}$ см$^2$.

Ответ: $108\sqrt{3}$ см$^2$.