Номер 24.5, страница 175 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

24.5. Найдите площадь параллелограмма, диагонали которого равны 26 см и 24 см, а одна из них перпендикулярна стороне параллелограмма.

24.5. Найдите площадь параллелограмма, диагонали которого равны 26 см и 24 см, а одна из них перпендикулярна стороне параллелограмма.

Пусть дан параллелограмм $ABCD$, его диагонали $AC$ и $BD$. По условию, $d_1 = 26$ см и $d_2 = 24$ см. Одна из диагоналей перпендикулярна стороне.

Сначала определим, какая из диагоналей может быть перпендикулярна стороне. Пусть стороны параллелограмма равны $a$ и $b$. Существует свойство параллелограмма, связывающее длины его сторон и диагоналей:

$d_1^2 + d_2^2 = 2(a^2 + b^2)$

Подставим известные значения диагоналей:

$26^2 + 24^2 = 2(a^2 + b^2)$

$676 + 576 = 2(a^2 + b^2)$

$1252 = 2(a^2 + b^2)$

$a^2 + b^2 = 626$

Теперь рассмотрим два случая.

Случай 1: Большая диагональ $AC = 26$ перпендикулярна стороне $AB = a$.
В этом случае треугольник $ABC$ является прямоугольным с гипотенузой $BC = b$. По теореме Пифагора: $b^2 = a^2 + AC^2 = a^2 + 26^2 = a^2 + 676$.
Подставим это в соотношение $a^2 + b^2 = 626$:

$a^2 + (a^2 + 676) = 626$

$2a^2 = 626 - 676$

$2a^2 = -50$

Это уравнение не имеет действительных решений, так как квадрат стороны не может быть отрицательным. Значит, этот случай невозможен.

Случай 2: Меньшая диагональ $BD = 24$ перпендикулярна стороне $AB = a$.
В этом случае треугольник $ABD$ является прямоугольным с гипотенузой $AD = b$. По теореме Пифагора: $b^2 = a^2 + BD^2 = a^2 + 24^2 = a^2 + 576$.
Подставим это выражение для $b^2$ в соотношение $a^2 + b^2 = 626$:

$a^2 + (a^2 + 576) = 626$

$2a^2 = 626 - 576$

$2a^2 = 50$

$a^2 = 25$

$a = 5$ см

Итак, мы нашли длину стороны $AB$, к которой перпендикулярна диагональ $BD$.

Площадь параллелограмма можно найти как произведение основания на высоту. Если мы примем сторону $AB$ за основание, то диагональ $BD$ не будет являться высотой. Однако диагональ $BD$ делит параллелограмм $ABCD$ на два равных треугольника: $\triangle ABD$ и $\triangle CDB$.

Площадь параллелограмма равна удвоенной площади треугольника $ABD$.

$S_{ABCD} = 2 \cdot S_{ABD}$

Поскольку $\triangle ABD$ — прямоугольный (так как $BD \perp AB$), его площадь равна половине произведения катетов $AB$ и $BD$.

$S_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BD$

$S_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 24 = 60$ см$^2$.

Тогда площадь всего параллелограмма:

$S_{ABCD} = 2 \cdot 60 = 120$ см$^2$.

Ответ: 120 см$^2$.