Номер 24.14, страница 175 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

24.14. Разность двух сторон параллелограмма равна 12 см, а проведённые к ним высоты равны 15 см и 10 см. Найдите площадь параллелограмма.

24.14. Разность двух сторон параллелограмма равна 12 см, а проведённые к ним высоты равны 15 см и 10 см. Найдите площадь параллелограмма.

Пусть стороны параллелограмма равны $a$ и $b$, а высоты, проведенные к этим сторонам, равны $h_a$ и $h_b$ соответственно.

Из условия задачи известно, что разность двух сторон равна 12 см. Допустим, $a$ - большая сторона, а $b$ - меньшая. Тогда можно записать:
$a - b = 12$, откуда $a = b + 12$.

Также даны высоты: 15 см и 10 см. В параллелограмме к большей стороне проведена меньшая высота, а к меньшей стороне — большая. Следовательно, высота, проведенная к большей стороне $a$, равна $h_a = 10$ см, а высота, проведенная к меньшей стороне $b$, равна $h_b = 15$ см.

Площадь параллелограмма $S$ можно выразить двумя способами: $S = a \cdot h_a$ и $S = b \cdot h_b$. Так как площадь фигуры не меняется, можем приравнять эти два выражения:
$a \cdot h_a = b \cdot h_b$

Подставим в это равенство известные значения высот и выражение для стороны $a$ через $b$:
$(b + 12) \cdot 10 = b \cdot 15$

Теперь решим полученное уравнение для нахождения длины стороны $b$:
$10b + 120 = 15b$
$120 = 15b - 10b$
$120 = 5b$
$b = \frac{120}{5} = 24$ см.

Теперь, зная $b$, найдем длину второй стороны $a$:
$a = b + 12 = 24 + 12 = 36$ см.

Наконец, вычислим площадь параллелограмма, используя любую из формул. Например, через сторону $a$ и высоту $h_a$:
$S = a \cdot h_a = 36 \cdot 10 = 360$ см².
Для проверки можно использовать вторую формулу:
$S = b \cdot h_b = 24 \cdot 15 = 360$ см².
Результаты совпадают, следовательно, задача решена верно.
Ответ: 360 см².