Номер 24.15, страница 175 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

24.15. Докажите, что из всех параллелограммов со сторонами $a$ и $b$ наибольшую площадь имеет прямоугольник.

24.15. Докажите, что из всех параллелограммов со сторонами $a$ и $b$ наибольшую площадь имеет прямоугольник.

Площадь параллелограмма со сторонами $a$ и $b$ и углом $\alpha$ между ними вычисляется по формуле:

$$S = a \cdot b \cdot \sin(\alpha)$$

По условию задачи, длины сторон $a$ и $b$ являются фиксированными положительными числами. Это означает, что величина площади $S$ зависит только от значения синуса угла $\alpha$ между сторонами.

Угол $\alpha$ в параллелограмме должен находиться в пределах $0^\circ < \alpha < 180^\circ$, поскольку при $\alpha = 0^\circ$ или $\alpha = 180^\circ$ параллелограмм вырождается в отрезок, и его площадь равна нулю.

Функция синуса для углов в диапазоне $(0^\circ, 180^\circ)$ принимает положительные значения. Максимальное значение функции $\sin(\alpha)$ равно 1, и оно достигается при $\alpha = 90^\circ$. Для всех остальных углов в этом диапазоне значение $\sin(\alpha)$ будет строго меньше 1.

$$0 < \sin(\alpha) \le 1$$

Следовательно, площадь параллелограмма $S = a \cdot b \cdot \sin(\alpha)$ достигает своего максимального значения, когда $\sin(\alpha)$ достигает своего максимума, то есть когда $\sin(\alpha) = 1$.

Это условие выполняется при $\alpha = 90^\circ$.

Параллелограмм, у которого угол между смежными сторонами равен $90^\circ$, является прямоугольником. Максимальная площадь при этом будет равна $S_{max} = a \cdot b \cdot \sin(90^\circ) = a \cdot b \cdot 1 = ab$.

Таким образом, из всех возможных параллелограммов с заданными сторонами $a$ и $b$ наибольшую площадь имеет тот, у которого стороны перпендикулярны, то есть прямоугольник.

Ответ: Доказано, что из всех параллелограммов со сторонами $a$ и $b$ наибольшую площадь имеет прямоугольник.