Номер 25.5, страница 181 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

25.5. Высота прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, равна 8 см, а проекция одного из катетов на гипотенузу — 6 см. Найдите площадь треугольника.

25.5. Высота прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, равна 8 см, а проекция одного из катетов на гипотенузу — 6 см. Найдите площадь треугольника.

Пусть в прямоугольном треугольнике $h$ — это высота, проведённая к гипотенузе, а $c_1$ и $c_2$ — проекции катетов на гипотенузу.

Согласно условию задачи, мы имеем:
Высота $h = 8$ см.
Проекция одного из катетов, допустим $c_1$, равна 6 см.

Для прямоугольного треугольника существует свойство, связывающее высоту, проведенную к гипотенузе, и проекции катетов: квадрат высоты равен произведению проекций катетов на гипотенузу. $h^2 = c_1 \cdot c_2$

Используем эту формулу для нахождения длины второй проекции $c_2$:
$8^2 = 6 \cdot c_2$
$64 = 6 \cdot c_2$
$c_2 = \frac{64}{6} = \frac{32}{3}$ см.

Гипотенуза $c$ является суммой длин двух проекций катетов на неё: $c = c_1 + c_2 = 6 + \frac{32}{3} = \frac{18}{3} + \frac{32}{3} = \frac{50}{3}$ см.

Площадь треугольника $S$ вычисляется как половина произведения его основания (в данном случае гипотенузы) на соответствующую высоту: $S = \frac{1}{2} \cdot c \cdot h$

Подставляем найденные значения длины гипотенузы и высоты: $S = \frac{1}{2} \cdot \frac{50}{3} \cdot 8 = \frac{50 \cdot 8}{2 \cdot 3} = \frac{400}{6} = \frac{200}{3}$ см$^2$.

Результат можно также представить в виде смешанного числа: $66 \frac{2}{3}$ см$^2$.

Ответ: $\frac{200}{3}$ см$^2$.