Номер 25.6, страница 181 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

25.6. Высота $BD$ треугольника $ABC$ делит его сторону $AC$ на отрезки $AD$ и $CD$. Найдите площадь треугольника $ABC$, если $BC = \sqrt{37}$ см, $\angle A = 30^\circ$, $CD = 5$ см.

25.6. Высота BD треугольника ABC делит его сторону AC на отрезки AD и CD. Найдите площадь треугольника ABC, если BC = $\sqrt{37}$ см, $\angle A = 30^\circ$, CD = 5 см.

Поскольку $BD$ — высота треугольника $ABC$, она перпендикулярна стороне $AC$. Таким образом, высота делит треугольник $ABC$ на два прямоугольных треугольника: $\triangle ADB$ и $\triangle CDB$.

1. Найдем высоту BD
Рассмотрим прямоугольный треугольник $CDB$ (где $\angle D = 90^\circ$). По теореме Пифагора $BC^2 = BD^2 + CD^2$.
Из условия нам известны длины гипотенузы $BC = \sqrt{37}$ см и катета $CD = 5$ см.
Подставим известные значения в формулу и выразим $BD$:
$BD^2 = BC^2 - CD^2$
$BD^2 = (\sqrt{37})^2 - 5^2 = 37 - 25 = 12$
$BD = \sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$ см.

2. Найдем длину отрезка AD
Рассмотрим прямоугольный треугольник $ADB$ (где $\angle D = 90^\circ$). Нам известен угол $\angle A = 30^{\circ}$ и длина противолежащего катета $BD = 2\sqrt{3}$ см.
Тангенс угла в прямоугольном треугольнике — это отношение противолежащего катета к прилежащему:
$\text{tg}(\angle A) = \frac{BD}{AD}$
Выразим отсюда $AD$:
$AD = \frac{BD}{\text{tg}(30^{\circ})}$
Значение тангенса $30^{\circ}$ равно $\frac{1}{\sqrt{3}}$. Подставим значения:
$AD = \frac{2\sqrt{3}}{1/\sqrt{3}} = 2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 2 \cdot 3 = 6$ см.

3. Найдем длину основания AC
Основание $AC$ состоит из суммы длин двух отрезков: $AD$ и $CD$.
$AC = AD + CD = 6 + 5 = 11$ см.

4. Найдем площадь треугольника ABC
Площадь треугольника вычисляется по формуле: $S = \frac{1}{2} \times \text{основание} \times \text{высота}$.
$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BD$
$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 11 \cdot 2\sqrt{3} = 11\sqrt{3}$ см$^2$.

Ответ: $11\sqrt{3}$ см$^2$.