Номер 25.12, страница 181 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

25.12. Найдите высоту прямоугольного треугольника, проведённую к гипотенузе, если его катеты равны 10 см и 24 см.

25.12. Найдите высоту прямоугольного треугольника, проведённую к гипотенузе, если его катеты равны 10 см и 24 см.

Пусть дан прямоугольный треугольник, его катеты равны $a = 10$ см и $b = 24$ см. Обозначим гипотенузу как $c$, а высоту, проведенную к гипотенузе, как $h$.

1. Найдем длину гипотенузы.

Согласно теореме Пифагора, сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы:

$a^2 + b^2 = c^2$

Подставим известные значения катетов в формулу:

$c^2 = 10^2 + 24^2 = 100 + 576 = 676$

Теперь найдем длину гипотенузы, извлекая квадратный корень:

$c = \sqrt{676} = 26$ см.

2. Найдем высоту, проведенную к гипотенузе.

Площадь прямоугольного треугольника ($S$) можно вычислить двумя способами:

1. Через катеты: $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b$

2. Через гипотенузу и высоту, проведенную к ней: $S = \frac{1}{2} \cdot c \cdot h$

Поскольку оба выражения описывают одну и ту же площадь, мы можем их приравнять:

$\frac{1}{2} \cdot a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot c \cdot h$

Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от дробей:

$a \cdot b = c \cdot h$

Выразим из этого уравнения искомую высоту $h$:

$h = \frac{a \cdot b}{c}$

Подставим числовые значения катетов и гипотенузы:

$h = \frac{10 \cdot 24}{26} = \frac{240}{26}$

Сократим полученную дробь на 2:

$h = \frac{120}{13}$ см.

Можно также представить ответ в виде смешанной дроби: $9 \frac{3}{13}$ см.

Ответ: $\frac{120}{13}$ см.