Номер 25.19, страница 182 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

25.19. Середину одной из диагоналей выпуклого четырёхугольника со-единили с концами другой. Докажите, что полученная ломаная (либо полученный отрезок) делит четырёхугольник на две равно-великие части.

25.19. Середину одной из диагоналей выпуклого четырёхугольника соединили с концами другой. Докажите, что полученная ломаная (либо полученный отрезок) делит четырёхугольник на две равновеликие части.

Пусть дан выпуклый четырехугольник $ABCD$. Его диагонали — $AC$ и $BD$. Пусть $M$ — середина диагонали $AC$. Соединим точку $M$ с вершинами $B$ и $D$, концами другой диагонали. В результате получим ломаную $BMD$ (или отрезок, если точки $B$, $M$, $D$ лежат на одной прямой).

Эта ломаная делит четырехугольник $ABCD$ на две части: многоугольник $ABMD$ и многоугольник $BCDM$. Необходимо доказать, что площади этих частей равны, то есть $S_{ABMD} = S_{BCDM}$.

Площадь многоугольника $ABMD$ равна сумме площадей треугольников $ABM$ и $ADM$: $S_{ABMD} = S_{\triangle ABM} + S_{\triangle ADM}$.

Площадь многоугольника $BCDM$ равна сумме площадей треугольников $BCM$ и $CDM$: $S_{BCDM} = S_{\triangle BCM} + S_{\triangle CDM}$.

Рассмотрим треугольник $ABC$. Поскольку $M$ — середина стороны $AC$, отрезок $BM$ является медианой этого треугольника. Известно, что медиана делит треугольник на два треугольника равной площади (равновеликих). Это происходит потому, что треугольники $\triangle ABM$ и $\triangle BCM$ имеют равные основания ($AM=MC$ по определению середины) и общую высоту, опущенную из вершины $B$ на прямую $AC$. Следовательно, их площади равны: $S_{\triangle ABM} = S_{\triangle BCM}$.

Теперь рассмотрим треугольник $ADC$. Аналогично, отрезок $DM$ является его медианой, так как соединяет вершину $D$ с серединой противолежащей стороны $AC$. Следовательно, площади треугольников $\triangle ADM$ и $\triangle CDM$ также равны: $S_{\triangle ADM} = S_{\triangle CDM}$.

Сложив два полученных равенства, получим: $S_{\triangle ABM} + S_{\triangle ADM} = S_{\triangle BCM} + S_{\triangle CDM}$.

Левая часть этого уравнения — это площадь многоугольника $ABMD$, а правая — площадь многоугольника $BCDM$. Таким образом, мы доказали, что $S_{ABMD} = S_{BCDM}$, то есть полученная ломаная делит четырехугольник на две равновеликие части.

Это утверждение верно и в частном случае, когда точки $B$, $M$ и $D$ лежат на одной прямой. Тогда ломаная $BMD$ является отрезком, совпадающим с диагональю $BD$. Доказательство при этом не меняется.

Ответ: Доказательство основано на свойстве медианы треугольника делить его на два равновеликих треугольника. Отрезки $BM$ и $DM$ являются медианами в треугольниках $ABC$ и $ADC$ соответственно. Поэтому $S_{\triangle ABM} = S_{\triangle BCM}$ и $S_{\triangle ADM} = S_{\triangle CDM}$. Складывая эти равенства, получаем $S_{\triangle ABM} + S_{\triangle ADM} = S_{\triangle BCM} + S_{\triangle CDM}$, что означает равенство площадей двух частей, на которые ломаная $BMD$ делит исходный четырехугольник.