Номер 25.18, страница 182 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

25.18. Докажите, что медиана треугольника разбивает его на два равновеликих треугольника.

25.18. Докажите, что медиана треугольника разбивает его на два равновеликих треугольника.

Рассмотрим произвольный треугольник $\triangle ABC$. Проведем в нем медиану $BM$ к стороне $AC$.

По определению медианы, точка $M$ является серединой стороны $AC$. Это означает, что она делит сторону $AC$ на два равных отрезка: $AM = MC$.

Медиана $BM$ разделяет исходный треугольник $\triangle ABC$ на два новых треугольника: $\triangle ABM$ и $\triangle CBM$. Нам необходимо доказать, что эти два треугольника являются равновеликими, то есть их площади равны.

Площадь треугольника вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2}ah$, где $a$ — длина основания треугольника, а $h$ — длина высоты, проведенной к этому основанию.

Проведем из вершины $B$ высоту $BH$ на прямую, содержащую сторону $AC$. Эта высота $BH$ будет общей для обоих треугольников, $\triangle ABM$ и $\triangle CBM$.

Вычислим площадь треугольника $\triangle ABM$. В качестве основания примем сторону $AM$. Высотой, проведенной к этому основанию, будет $BH$.

Площадь $\triangle ABM$ равна: $S_{\triangle ABM} = \frac{1}{2} \cdot AM \cdot BH$.

Теперь вычислим площадь треугольника $\triangle CBM$. В качестве основания примем сторону $MC$. Высотой, проведенной к этому основанию, также является $BH$.

Площадь $\triangle CBM$ равна: $S_{\triangle CBM} = \frac{1}{2} \cdot MC \cdot BH$.

Теперь сравним полученные выражения для площадей. Мы знаем, что $AM = MC$ (поскольку $BM$ — медиана) и высота $BH$ у этих треугольников общая. Следовательно, правые части формул для площадей равны:

$\frac{1}{2} \cdot AM \cdot BH = \frac{1}{2} \cdot MC \cdot BH$

Из этого следует, что и левые части равны, то есть площади треугольников одинаковы:

$S_{\triangle ABM} = S_{\triangle CBM}$

Таким образом, мы доказали, что медиана треугольника разбивает его на два равновеликих треугольника. Что и требовалось доказать.

Ответ: Медиана треугольника делит его на два треугольника, которые имеют равные основания (половины стороны, к которой проведена медиана) и общую высоту (проведенную из той же вершины, что и медиана). Поскольку площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, площади этих двух треугольников равны, то есть они равновелики.