Номер 25.11, страница 181 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

25.11. Найдите площадь равнобедренного прямоугольного треугольника, гипотенуза которого равна $c$.

25.11. Найдите площадь равнобедренного прямоугольного треугольника, гипотенуза которого равна $c$.

25.11.

Пусть дан равнобедренный прямоугольный треугольник. В таком треугольнике катеты равны. Обозначим длину каждого катета как $a$. Гипотенуза по условию равна $c$.

Площадь прямоугольного треугольника ($S$) вычисляется как половина произведения его катетов: $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot a = \frac{1}{2}a^2$

Чтобы найти площадь, необходимо выразить катет $a$ через гипотенузу $c$. Для этого воспользуемся теоремой Пифагора, согласно которой сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы: $a^2 + a^2 = c^2$

Упростим полученное уравнение: $2a^2 = c^2$

Из этого уравнения выразим $a^2$: $a^2 = \frac{c^2}{2}$

Теперь подставим найденное выражение для $a^2$ в формулу площади: $S = \frac{1}{2}a^2 = \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{c^2}{2}\right) = \frac{c^2}{4}$

Таким образом, площадь равнобедренного прямоугольного треугольника с гипотенузой $c$ равна $\frac{c^2}{4}$.

Ответ: $\frac{c^2}{4}$