Номер 25.7, страница 181 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

25.7. Высота $AM$ треугольника $ABC$ делит его сторону $BC$ на отрезки $BM$ и $MC$. Найдите площадь треугольника $ABC$, если $AB = 10\sqrt{2}$ см, $AC = 26$ см, $\angle B = 45^\circ$.

25.7. Высота $AM$ треугольника $ABC$ делит его сторону $BC$ на отрезки $BM$ и $MC$. Найдите площадь треугольника $ABC$, если $AB = 10\sqrt{2}$ см, $AC = 26$ см, $\angle B = 45^\circ$.

Поскольку $AM$ — высота треугольника $ABC$, проведенная к стороне $BC$, то треугольники $AMB$ и $AMC$ являются прямоугольными ($\angle AMB = \angle AMC = 90^\circ$).

Рассмотрим прямоугольный треугольник $AMB$. Нам известно, что гипотенуза $AB = 10\sqrt{2}$ см и угол $\angle B = 45^\circ$.
Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90^\circ$, поэтому $\angle BAM = 90^\circ - \angle B = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$.
Так как углы при основании $AB$ равны ($\angle B = \angle BAM = 45^\circ$), треугольник $AMB$ является равнобедренным, и, следовательно, его катеты равны: $AM = BM$.
Найдем длину катета $AM$ (высоты треугольника $ABC$) через синус угла $B$:
$AM = AB \cdot \sin(\angle B) = 10\sqrt{2} \cdot \sin(45^\circ) = 10\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{10 \cdot 2}{2} = 10$ см.
Поскольку $AM = BM$, то $BM = 10$ см.

Далее рассмотрим прямоугольный треугольник $AMC$. Нам известны длина гипотенузы $AC = 26$ см и длина катета $AM = 10$ см.
Найдем длину второго катета $MC$ по теореме Пифагора: $AC^2 = AM^2 + MC^2$.
$MC^2 = AC^2 - AM^2$
$MC^2 = 26^2 - 10^2 = 676 - 100 = 576$
$MC = \sqrt{576} = 24$ см.

Теперь найдем длину основания $BC$. Она равна сумме длин отрезков $BM$ и $MC$:
$BC = BM + MC = 10 + 24 = 34$ см.

Площадь треугольника $ABC$ вычисляется по формуле половины произведения основания на высоту:
$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AM = \frac{1}{2} \cdot 34 \cdot 10 = 17 \cdot 10 = 170$ см$^2$.

Ответ: 170 см$^2$.