Вопросы, страница 180 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

1. Как найти площадь треугольника, если известны его сторона и высота, проведённая к ней?

2. Как найти площадь прямоугольного треугольника, если известны его катеты?

3. Как найти площадь треугольника, если известны его полупериметр и радиус вписанной окружности?

4. Как найти площадь описанного многоугольника, если известны его полупериметр и радиус вписанной окружности?

1. Как найти площадь треугольника, если известны его сторона и высота, проведённая к ней?

2. Как найти площадь прямоугольного треугольника, если известны его катеты?

3. Как найти площадь треугольника, если известны его полупериметр и радиус вписанной окружности?

4. Как найти площадь описанного многоугольника, если известны его полупериметр и радиус вписанной окружности?

1. Как найти площадь треугольника, если известны его сторона и высота, проведённая к ней?
Площадь треугольника равна половине произведения длины его стороны на длину высоты, проведённой к этой стороне. Пусть $a$ – это длина стороны треугольника (основание), а $h$ – это длина высоты, опущенной на эту сторону. Тогда формула для вычисления площади $S$ будет следующей:
$S = \frac{1}{2} a h$
Это одна из основных формул для нахождения площади треугольника.
Ответ: Площадь треугольника можно найти по формуле $S = \frac{1}{2} a h$, где $a$ – сторона треугольника, а $h$ – высота, проведённая к этой стороне.

2. Как найти площадь прямоугольного треугольника, если известны его катеты?
В прямоугольном треугольнике катеты перпендикулярны друг другу. Это означает, что один катет можно рассматривать как основание, а другой – как высоту, проведённую к этому основанию. Пусть катеты прямоугольного треугольника равны $a$ и $b$. Если мы примем катет $a$ за основание, то катет $b$ будет высотой. Используя формулу из предыдущего пункта, получим:
$S = \frac{1}{2} a b$
Таким образом, площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.
Ответ: Площадь прямоугольного треугольника можно найти по формуле $S = \frac{1}{2} ab$, где $a$ и $b$ – его катеты.

3. Как найти площадь треугольника, если известны его полупериметр и радиус вписанной окружности?
Площадь треугольника равна произведению его полупериметра на радиус вписанной окружности. Пусть стороны треугольника равны $a$, $b$, $c$. Его периметр $P = a+b+c$, а полупериметр $p = \frac{a+b+c}{2}$. Пусть $r$ – радиус вписанной окружности. Соединив центр вписанной окружности с вершинами треугольника, мы разобьём его на три треугольника. Основаниями этих треугольников будут стороны $a, b, c$, а высотами, проведёнными к этим основаниям, будет радиус вписанной окружности $r$. Площадь исходного треугольника $S$ будет равна сумме площадей этих трёх треугольников:
$S = \frac{1}{2}ar + \frac{1}{2}br + \frac{1}{2}cr = \frac{1}{2}(a+b+c)r$
Так как $p = \frac{a+b+c}{2}$, то формула принимает вид:
$S = p \cdot r$
Ответ: Площадь треугольника можно найти по формуле $S = p \cdot r$, где $p$ – полупериметр треугольника, а $r$ – радиус вписанной в него окружности.

4. Как найти площадь описанного многоугольника, если известны его полупериметр и радиус вписанной окружности?
Описанный многоугольник — это многоугольник, в который можно вписать окружность (касающуюся всех его сторон). Эта задача решается аналогично предыдущей. Площадь любого описанного многоугольника равна произведению его полупериметра на радиус вписанной окружности. Пусть многоугольник имеет $n$ сторон с длинами $a_1, a_2, \ldots, a_n$. Его периметр $P = a_1 + a_2 + \ldots + a_n$, а полупериметр $p = \frac{P}{2}$. Пусть $r$ – радиус вписанной окружности. Соединив центр вписанной окружности с вершинами многоугольника, мы разобьём его на $n$ треугольников. Основаниями этих треугольников будут стороны многоугольника, а высотами – радиус $r$. Площадь многоугольника $S$ будет равна сумме площадей этих $n$ треугольников:
$S = \frac{1}{2}a_1r + \frac{1}{2}a_2r + \ldots + \frac{1}{2}a_nr = \frac{1}{2}(a_1 + a_2 + \ldots + a_n)r = \frac{1}{2}P \cdot r$
Подставляя полупериметр $p$, получаем ту же формулу:
$S = p \cdot r$
Ответ: Площадь описанного многоугольника можно найти по формуле $S = p \cdot r$, где $p$ – полупериметр многоугольника, а $r$ – радиус вписанной в него окружности.