Номер 25.4, страница 181 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

25.4. Найдите площадь прямоугольного треугольника, если высота, проведённая к гипотенузе, делит её на отрезки длиной 3 см и 27 см.

25.4. Найдите площадь прямоугольного треугольника, если высота, проведённая к гипотенузе, делит её на отрезки длиной 3 см и 27 см.

Для решения этой задачи мы воспользуемся свойством высоты прямоугольного треугольника, проведенной к гипотенузе, и стандартной формулой для вычисления площади треугольника.

Пусть $h$ — это высота, проведенная к гипотенузе, а $c_1$ и $c_2$ — это длины отрезков, на которые высота делит гипотенузу.

Согласно условию задачи, мы имеем:

$c_1 = 3$ см

$c_2 = 27$ см

Высота, проведенная из вершины прямого угла к гипотенузе, является средним геометрическим отрезков, на которые она делит гипотенузу. Это означает, что квадрат высоты равен произведению длин этих отрезков. Математически это записывается так:

$h^2 = c_1 \cdot c_2$

Подставим известные значения, чтобы найти длину высоты $h$:

$h^2 = 3 \cdot 27 = 81$

$h = \sqrt{81} = 9$ см.

Теперь найдем полную длину гипотенузы $c$, которая является основанием треугольника, соответствующим высоте $h$. Длина гипотенузы равна сумме длин ее отрезков:

$c = c_1 + c_2 = 3 + 27 = 30$ см.

Площадь треугольника ($S$) вычисляется по формуле:

$S = \frac{1}{2} \cdot основание \cdot высота$

В нашем случае основанием является гипотенуза $c$, а высотой — $h$.

$S = \frac{1}{2} \cdot c \cdot h$

Подставим найденные значения $c$ и $h$:

$S = \frac{1}{2} \cdot 30 \cdot 9 = 15 \cdot 9 = 135$ см².

Ответ: 135 см².