Номер 25.14, страница 181 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

25.14. Докажите, что площадь выпуклого четырехугольника, диагонали которого перпендикулярны, равна половине их произведения.

25.14. Докажите, что площадь выпуклого четырёхугольника, диагонали которого перпендикулярны, равна половине их произведения.

Пусть дан выпуклый четырехугольник $ABCD$, диагонали которого $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. По условию задачи, диагонали перпендикулярны, то есть $AC \perp BD$.

Площадь четырехугольника $ABCD$ можно представить как сумму площадей четырех треугольников, на которые его разбивают диагонали: $\triangle AOB$, $\triangle BOC$, $\triangle COD$ и $\triangle DOA$.

$S_{ABCD} = S_{\triangle AOB} + S_{\triangle BOC} + S_{\triangle COD} + S_{\triangle DOA}$

Так как диагонали перпендикулярны, каждый из этих четырех треугольников является прямоугольным, а отрезки диагоналей ($AO$, $CO$, $BO$, $DO$) являются их катетами. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.

Вычислим площади треугольников:

$S_{\triangle AOB} = \frac{1}{2} AO \cdot BO$

$S_{\triangle BOC} = \frac{1}{2} CO \cdot BO$

$S_{\triangle COD} = \frac{1}{2} CO \cdot DO$

$S_{\triangle DOA} = \frac{1}{2} AO \cdot DO$

Подставим эти выражения в формулу для площади четырехугольника:

$S_{ABCD} = \frac{1}{2} AO \cdot BO + \frac{1}{2} CO \cdot BO + \frac{1}{2} CO \cdot DO + \frac{1}{2} AO \cdot DO$

Вынесем общий множитель $\frac{1}{2}$ за скобки и сгруппируем слагаемые:

$S_{ABCD} = \frac{1}{2} ((AO \cdot BO + CO \cdot BO) + (CO \cdot DO + AO \cdot DO))$

Вынесем общие множители $BO$ и $DO$ из скобок:

$S_{ABCD} = \frac{1}{2} (BO(AO + CO) + DO(AO + CO))$

Теперь вынесем общий множитель $(AO + CO)$:

$S_{ABCD} = \frac{1}{2} (AO + CO)(BO + DO)$

Заметим, что $(AO + CO)$ — это длина диагонали $AC$, а $(BO + DO)$ — это длина диагонали $BD$. Обозначим длины диагоналей $d_1 = AC$ и $d_2 = BD$.

Тогда формула для площади принимает вид:

$S_{ABCD} = \frac{1}{2} d_1 \cdot d_2$

Таким образом, доказано, что площадь выпуклого четырехугольника, диагонали которого перпендикулярны, равна половине произведения их длин. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Площадь выпуклого четырехугольника с перпендикулярными диагоналями $d_1$ и $d_2$ вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2} d_1 d_2$.