Страница 36 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

Творческая работа

Два молочных комбината одного аграрно-производственного объединения расположены в 120 км друг от друга. Ассортимент, качество и цена соответствующих готовых продуктов одинаковые. Из-за особенностей рельефа местности транспортные расходы у них разные. Если первый комбинат на транспортировку одной единицы выпускаемой продукции (например, 1 коробки продукции) расходует 6 тг/км, то второй комбинат на это тратит 12 тг/км. Как нужно поделить рынок сбыта между данными комбинатами так, чтобы это было выгодно указанному аграрно-производственному объединению?

1) Обозначьте место нахождения первого комбината точкой A, а второго — точкой B и выберите прямоугольную систему координат $Oxy$ так, чтобы начало координат $O$ совпало с серединой отрезка $AB$, а ось $Ox$ была сонаправлена с вектором $\vec{AB}$. Найдите координаты точек $A$ и $B$.

2) Пусть в магазине, расположенном в точке $P(x; y)$, продукты этих комбинатов имеют одинаковые цены (с учетом расходов на транспортировку). Покажите, что координаты всех таких точек $P$ удовлетворяют уравнению $(x - 100)^2 + y^2 = 80^2$.

3) Заштрихуйте область рынка сбыта для комбината, расположенного в точке B. Каким неравенством определяется эта область?

4) Сформулируйте ответ, полученный математическим способом, т.е. сформулируйте рекомендации для руководства объединения.

1) Обозначьте место нахождения первого комбината точкой А, а второго – точкой В и выберите прямоугольную систему координат Oxy так, чтобы начало координат O совпало с серединой отрезка АВ, а ось Ox была сонаправлена с вектором $\vec{AB}$. Найдите координаты точек А и В.

Согласно условию, расстояние между комбинатами А и В составляет 120 км. Мы размещаем начало прямоугольной системы координат, точку O(0, 0), в середине отрезка AB. Это означает, что точка O находится на одинаковом расстоянии от точек A и B, равном $120 / 2 = 60$ км.

Ось Ox сонаправлена с вектором $\vec{AB}$, то есть направлена от точки A к точке B. Следовательно, отрезок AB лежит на оси Ox. Точка A будет находиться на отрицательной части оси Ox, а точка B – на положительной.

Таким образом, координаты точек будут:

• Точка A, находящаяся на расстоянии 60 км от начала координат в отрицательном направлении оси Ox, имеет координаты $(-60; 0)$.
• Точка B, находящаяся на расстоянии 60 км от начала координат в положительном направлении оси Ox, имеет координаты $(60; 0)$.

Ответ: Координаты точки А: $(-60; 0)$. Координаты точки В: $(60; 0)$.

2) Пусть в магазине, расположенном в точке P(x; y), продукты этих комбинатов имеют одинаковые цены (с учетом расходов на транспортировку). Покажите, что координаты всех таких точек P удовлетворяют уравнению $(x - 100)^2 + y^2 = 80^2$.

Пусть $C_0$ – базовая цена единицы продукции (одинаковая для обоих комбинатов). Пусть точка P имеет координаты $(x; y)$.

Общая цена продукции из комбината А в точке P складывается из базовой цены и стоимости транспортировки. Стоимость транспортировки от комбината А (в точке A(-60, 0)) составляет 6 тг/км. Расстояние от A до P равно $|AP| = \sqrt{(x - (-60))^2 + (y-0)^2} = \sqrt{(x+60)^2 + y^2}$.Цена продукции из А в точке Р: $C_A = C_0 + 6 \cdot |AP|$.

Стоимость транспортировки от комбината В (в точке B(60, 0)) составляет 12 тг/км. Расстояние от B до P равно $|BP| = \sqrt{(x-60)^2 + (y-0)^2}$.Цена продукции из В в точке Р: $C_B = C_0 + 12 \cdot |BP|$.

По условию, цены равны: $C_A = C_B$.$C_0 + 6 \cdot |AP| = C_0 + 12 \cdot |BP|$$6 \cdot |AP| = 12 \cdot |BP|$$|AP| = 2 \cdot |BP|$

Подставим выражения для расстояний:$\sqrt{(x+60)^2 + y^2} = 2 \cdot \sqrt{(x-60)^2 + y^2}$

Возведем обе части уравнения в квадрат:$(x+60)^2 + y^2 = 4 \cdot ((x-60)^2 + y^2)$$x^2 + 120x + 3600 + y^2 = 4 \cdot (x^2 - 120x + 3600 + y^2)$$x^2 + 120x + 3600 + y^2 = 4x^2 - 480x + 14400 + 4y^2$

Перенесем все члены в правую часть и приведем подобные слагаемые:$0 = (4x^2 - x^2) + (-480x - 120x) + (14400 - 3600) + (4y^2 - y^2)$$0 = 3x^2 - 600x + 10800 + 3y^2$

Разделим все уравнение на 3:$x^2 - 200x + 3600 + y^2 = 0$

Теперь выделим полный квадрат для переменной $x$:$(x^2 - 200x + 100^2) - 100^2 + 3600 + y^2 = 0$$(x - 100)^2 - 10000 + 3600 + y^2 = 0$$(x - 100)^2 + y^2 = 10000 - 3600$$(x - 100)^2 + y^2 = 6400$

Так как $80^2 = 6400$, мы получаем искомое уравнение:$(x - 100)^2 + y^2 = 80^2$Это уравнение окружности с центром в точке C(100, 0) и радиусом R = 80 км, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Координаты точек, где цены на продукцию обоих комбинатов равны, действительно удовлетворяют уравнению $(x - 100)^2 + y^2 = 80^2$.

3) Заштрихуйте область рынка сбыта для комбината, расположенного в точке В. Каким неравенством определяется эта область?

Область рынка сбыта для комбината B – это множество всех точек P, в которых доставка продукции из комбината B выгоднее или так же выгодна, как из комбината A. Это означает, что итоговая цена продукции из B должна быть меньше или равна цене продукции из A:$C_B \le C_A$$C_0 + 12 \cdot |BP| \le C_0 + 6 \cdot |AP|$$12 \cdot |BP| \le 6 \cdot |AP|$$2 \cdot |BP| \le |AP|$

Возводя в квадрат (обе части неравенства неотрицательны), получаем:$4 \cdot |BP|^2 \le |AP|^2$

Используя алгебраические преобразования из пункта 2, мы приходим к неравенству:$(x - 100)^2 + y^2 \le 80^2$

Это неравенство определяет область, которая включает в себя все точки внутри окружности с центром в C(100, 0) и радиусом R=80, а также точки на самой окружности. На графике эта область заштрихована.

Ответ: Область рынка сбыта для комбината B определяется неравенством $(x - 100)^2 + y^2 \le 80^2$.

4) Сформулируйте ответ, полученный математическим способом, т.е. сформулируйте рекомендации для руководства объединения.

На основе проведенного математического анализа можно дать следующие рекомендации руководству аграрно-производственного объединения для оптимального разделения рынка сбыта между двумя комбинатами:

1. Граница, разделяющая рынки сбыта двух комбинатов, является не прямой линией, а окружностью. Это обусловлено различием в транспортных расходах: комбинат B тратит на доставку в 2 раза больше средств на километр, чем комбинат A.
2. Комбинату A, у которого транспортные расходы ниже (6 тг/км), следует обслуживать значительно большую по площади территорию. Его зоной ответственности являются все точки продаж, расположенные вне и на границе окружности, заданной уравнением $(x - 100)^2 + y^2 = 80^2$ (в выбранной системе координат).
3. Комбинату B, с более высокими транспортными расходами (12 тг/км), следует поставлять продукцию в точки, расположенные внутри и на границе той же окружности. Эта область представляет собой круг с центром в точке (100, 0) и радиусом 80 км, который включает в себя сам комбинат B, но смещен в сторону от комбината А.
4. Такое разделение рынка позволит минимизировать общие транспортные издержки всего объединения. Любая точка на границе (окружности) может обслуживаться любым из комбинатов с одинаковыми затратами. Следование этим рекомендациям приведет к повышению экономической эффективности и общей прибыльности предприятия.

Ответ: Рекомендуется разделить рынок сбыта по окружности с уравнением $(x-100)^2 + y^2 = 80^2$. Комбинат А (в точке (-60, 0)) обслуживает территорию вне этой окружности, а комбинат В (в точке (60, 0)) – территорию внутри нее. Это обеспечит минимальные суммарные транспортные расходы для объединения.