Страница 38 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

Рис. 1.9

1.74. Постройте графики системы неравенств:

$\begin{cases} x^2 + y^2 \leq 64, \\ x > 0; \end{cases}$

$\begin{cases} x^2 + y^2 \leq 25, \\ y \geq 5 - x; \end{cases}$

$\begin{cases} 4 \leq x^2 + y^2 \leq 16, \\ x \leq y. \end{cases}$

1)

Рассмотрим систему неравенств:

$\begin{cases}x^2 + y^2 \le 64 \\x > 0\end{cases}$

Первое неравенство, $x^2 + y^2 \le 64$, задает множество точек на координатной плоскости, находящихся внутри и на границе окружности с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $R = \sqrt{64} = 8$. Это замкнутый круг.

Второе неравенство, $x > 0$, задает множество точек, у которых абсцисса (координата $x$) положительна. Это открытая правая полуплоскость, то есть все точки справа от оси ординат ($y$). Сама ось $y$ (где $x=0$) в решение не входит, поэтому ее граница будет изображаться пунктирной линией.

Решением системы является пересечение этих двух множеств: правая половина круга с радиусом 8, включая дугу окружности, но не включая диаметр, лежащий на оси $y$.

Ответ: Графиком является правый полукруг с центром в (0,0) и радиусом 8. Дуга окружности включена в решение, а вертикальный диаметр на оси Y — нет.

2)

Рассмотрим систему неравенств:

$\begin{cases}x^2 + y^2 \le 25 \\y \ge 5 - x\end{cases}$

Первое неравенство, $x^2 + y^2 \le 25$, задает замкнутый круг с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $R = \sqrt{25} = 5$.

Второе неравенство, $y \ge 5 - x$, задает полуплоскость. Границей этой полуплоскости является прямая $y = 5 - x$. Эта прямая проходит через точки $(0, 5)$ и $(5, 0)$. Знак "$\ge$" означает, что решением является сама прямая и все точки, лежащие над ней.

Решением системы является пересечение круга и полуплоскости. Это сегмент круга, который находится выше прямой $y = 5-x$. Так как оба неравенства нестрогие ($\le$ и $\ge$), все границы области включены в решение.

Ответ: Графиком является сегмент круга радиусом 5 с центром в (0,0), отсекаемый сверху прямой $y = 5 - x$. Все границы включены в решение.

3)

Рассмотрим систему неравенств:

$\begin{cases}4 \le x^2 + y^2 \le 16 \\x \le y\end{cases}$

Первое двойное неравенство $4 \le x^2 + y^2 \le 16$ задает множество точек, расположенных между двумя концентрическими окружностями с центром в начале координат. Внутренняя окружность имеет радиус $r_1 = \sqrt{4} = 2$, а внешняя — $r_2 = \sqrt{16} = 4$. Область включает обе окружности. Эта фигура называется кольцом или аннулусом.

Второе неравенство, $x \le y$ (или $y \ge x$), задает полуплоскость, границей которой является прямая $y=x$ (биссектриса первого и третьего координатных углов). Решением являются точки на самой прямой и все точки, лежащие "выше" этой прямой (например, точка $(-1, 1)$ удовлетворяет неравенству).

Решением системы является пересечение кольца и полуплоскости. Это та часть кольца, которая лежит на и выше прямой $y=x$. Все границы (два отрезка прямой и две дуги окружностей) включены в решение.

Ответ: Графиком является часть кольца между окружностями радиусов 2 и 4, расположенная на и выше прямой $y=x$.

1.75. Постройте графики фигур, заданных уравнениями:

1) $2x - y = 3;$

2) $x + y - 2 = 0;$

3) $2|x| - y = 3;$

4) $|x| + y - 2 = 0;$

5) $2x - y = 3, -1 \le x \le 3;$

6) $x + y = 2, -1 \le x \le 2;$

7) $|x| + y = 2, -1 \le x \le 2.$

1) $2x - y = 3$
Данное уравнение является линейным. Чтобы построить его график, выразим переменную $y$ через $x$:
$y = 2x - 3$
Графиком этого уравнения является прямая линия. Для ее построения достаточно найти координаты двух любых точек, удовлетворяющих уравнению.
Возьмем $x = 0$, тогда $y = 2 \cdot 0 - 3 = -3$. Получаем точку $(0, -3)$.
Возьмем $x = 2$, тогда $y = 2 \cdot 2 - 3 = 1$. Получаем точку $(2, 1)$.
Проведем прямую через эти две точки.
Ответ: Графиком является прямая линия, проходящая через точки $(0, -3)$ и $(2, 1)$.

2) $x + y - 2 = 0$
Данное уравнение является линейным. Выразим $y$ через $x$:
$y = -x + 2$
Графиком является прямая. Найдем две точки для ее построения.
При $x = 0$, $y = -0 + 2 = 2$. Точка $(0, 2)$.
При $x = 2$, $y = -2 + 2 = 0$. Точка $(2, 0)$.
Проведем прямую через эти точки.
Ответ: Графиком является прямая линия, проходящая через точки $(0, 2)$ и $(2, 0)$.

3) $2|x| - y = 3$
Преобразуем уравнение, выразив $y$:
$y = 2|x| - 3$
Это уравнение содержит модуль $x$. Для построения графика рассмотрим два случая:
1. Если $x \ge 0$, то $|x| = x$, и уравнение принимает вид $y = 2x - 3$. Это луч, выходящий из точки $(0, -3)$ и проходящий через все точки с $x \ge 0$. Например, через $(2, 1)$.
2. Если $x < 0$, то $|x| = -x$, и уравнение принимает вид $y = -2x - 3$. Это луч, выходящий из точки $(0, -3)$ и проходящий через все точки с $x < 0$. Например, через $(-2, 1)$.
График представляет собой объединение двух лучей, исходящих из одной точки.
Ответ: График — ломаная линия (V-образная "галочка") с вершиной в точке $(0, -3)$ и ветвями, направленными вверх.

4) $|x| + y - 2 = 0$
Преобразуем уравнение, выразив $y$:
$y = -|x| + 2$
Это уравнение с модулем. Рассмотрим два случая:
1. Если $x \ge 0$, то $|x| = x$, и уравнение становится $y = -x + 2$. Это луч с началом в точке $(0, 2)$, проходящий через $(2, 0)$.
2. Если $x < 0$, то $|x| = -x$, и уравнение становится $y = -(-x) + 2 = x + 2$. Это луч с началом в точке $(0, 2)$, проходящий через $(-2, 0)$.
График состоит из двух лучей, симметричных относительно оси OY.
Ответ: График — ломаная линия (перевернутая "галочка") с вершиной в точке $(0, 2)$ и ветвями, направленными вниз.

5) $2x - y = 3, -1 \le x \le 3$
Это уравнение прямой $y = 2x - 3$, но с ограничением на значения $x$: $-1 \le x \le 3$.
Следовательно, графиком будет не вся прямая, а только ее отрезок. Найдем координаты концов этого отрезка.
При $x = -1$, $y = 2(-1) - 3 = -5$. Конечная точка $(-1, -5)$.
При $x = 3$, $y = 2(3) - 3 = 3$. Конечная точка $(3, 3)$.
Соединим эти две точки.
Ответ: Графиком является отрезок прямой с концами в точках $(-1, -5)$ и $(3, 3)$.

6) $x + y = 2, -1 \le x \le 2$
Это уравнение прямой $y = -x + 2$ с ограничением на $x$: $-1 \le x \le 2$.
Графиком является отрезок. Найдем его конечные точки.
При $x = -1$, $y = -(-1) + 2 = 3$. Конечная точка $(-1, 3)$.
При $x = 2$, $y = -(2) + 2 = 0$. Конечная точка $(2, 0)$.
Соединим эти точки отрезком.
Ответ: Графиком является отрезок прямой с концами в точках $(-1, 3)$ и $(2, 0)$.

7) $|x| + y = 2, -1 \le x \le 2$
Это график функции $y = -|x| + 2$ с ограничением на $x$: $-1 \le x \le 2$.
Графиком будет ломаная линия. Рассмотрим ее на двух участках в пределах заданного интервала.
1. Для $x \in [-1, 0)$, уравнение имеет вид $y = x + 2$. Это отрезок от точки, где $x=-1$ (т.е. $y=-1+2=1$), до точки, где $x=0$ (т.е. $y=0+2=2$). Отрезок соединяет точки $(-1, 1)$ и $(0, 2)$.
2. Для $x \in [0, 2]$, уравнение имеет вид $y = -x + 2$. Это отрезок от точки, где $x=0$ (т.е. $y=2$), до точки, где $x=2$ (т.е. $y=-2+2=0$). Отрезок соединяет точки $(0, 2)$ и $(2, 0)$.
Итоговая фигура — это объединение этих двух отрезков.
Ответ: Графиком является ломаная линия, состоящая из двух отрезков, соединяющих последовательно точки $(-1, 1)$, $(0, 2)$ и $(2, 0)$.

1.76. Постройте графики фигур, заданных уравнениями:

1) $x^2+y^2=16$;

2) $(x+1)^2+(y+1)^2=9$;

3) $x^2+y^2-4x+6y=12$;

4) $x^2+y^2-x-y=\frac{7}{4}$;

5) $x^2+2x+y=0$;

6) $2x^2-4x-y=5$.

1)Уравнение $x^2+y^2=16$ представляет собой каноническое уравнение окружности вида $(x-a)^2+(y-b)^2=R^2$, где $(a, b)$ — координаты центра, а $R$ — радиус.
В данном случае уравнение можно записать как $(x-0)^2+(y-0)^2=4^2$.
Следовательно, центр окружности находится в точке $O(0, 0)$, а ее радиус равен $R=4$.

Ответ: Окружность с центром в точке $(0, 0)$ и радиусом $4$.

2)Уравнение $(x+1)^2+(y+1)^2=9$ также является уравнением окружности.
Представим его в каноническом виде $(x-a)^2+(y-b)^2=R^2$: $(x - (-1))^2 + (y - (-1))^2 = 3^2$.
Отсюда видно, что центр окружности находится в точке $C(-1, -1)$, а ее радиус равен $R=3$.

Ответ: Окружность с центром в точке $(-1, -1)$ и радиусом $3$.

3)Чтобы привести уравнение $x^2+y^2-4x+6y=12$ к каноническому виду, применим метод выделения полного квадрата для переменных $x$ и $y$.
Сгруппируем слагаемые: $(x^2 - 4x) + (y^2 + 6y) = 12$.
Дополняем до полного квадрата:
$(x^2 - 4x + 4) - 4 + (y^2 + 6y + 9) - 9 = 12$.
$(x-2)^2 + (y+3)^2 - 13 = 12$.
$(x-2)^2 + (y+3)^2 = 25$.
$(x-2)^2 + (y - (-3))^2 = 5^2$.
Это уравнение окружности с центром в точке $C(2, -3)$ и радиусом $R=5$.

Ответ: Окружность с центром в точке $(2, -3)$ и радиусом $5$.

4)Преобразуем уравнение $x^2 + y^2 - x - y = -\frac{7}{4}$, используя метод выделения полного квадрата.
$(x^2 - x) + (y^2 - y) = -\frac{7}{4}$.
$(x^2 - 2 \cdot x \cdot \frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^2) - (\frac{1}{2})^2 + (y^2 - 2 \cdot y \cdot \frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^2) - (\frac{1}{2})^2 = -\frac{7}{4}$.
$(x - \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4} + (y - \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4} = -\frac{7}{4}$.
$(x - \frac{1}{2})^2 + (y - \frac{1}{2})^2 = -\frac{7}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4}$.
$(x - \frac{1}{2})^2 + (y - \frac{1}{2})^2 = -\frac{5}{4}$.
Слева стоит сумма квадратов, которая всегда неотрицательна. Справа стоит отрицательное число. Это уравнение не имеет решений в действительных числах, следовательно, оно не задает никакой фигуры на плоскости. Множество точек, удовлетворяющих этому уравнению, пусто.

Ответ: Уравнение не задает никакой фигуры (пустое множество).

5)Уравнение $x^2+2x+y=0$ является уравнением параболы, так как одна переменная ($x$) входит в уравнение во второй степени, а другая ($y$) — в первой.
Выразим $y$ через $x$, чтобы привести уравнение к виду $y = ax^2+bx+c$:
$y = -x^2 - 2x$.
Найдем вершину параболы, выделив полный квадрат:
$y = -(x^2 + 2x) = -(x^2 + 2x + 1 - 1) = -((x+1)^2 - 1) = -(x+1)^2 + 1$.
Это парабола, ветви которой направлены вниз (коэффициент при $(x+1)^2$ отрицателен), с вершиной в точке $(-1, 1)$.
Найдем точки пересечения с осями:
При $x=0$, $y=0$. Пересечение с осью OY в точке $(0, 0)$.
При $y=0$, $-x(x+2)=0$, откуда $x=0$ или $x=-2$. Пересечения с осью OX в точках $(0, 0)$ и $(-2, 0)$.

Ответ: Парабола $y = -(x+1)^2 + 1$ с вершиной в точке $(-1, 1)$, ветвями вниз.

6)Уравнение $2x^2-4x-y=5$ также задает параболу.
Выразим $y$: $y = 2x^2 - 4x - 5$.
Найдем вершину, выделив полный квадрат:
$y = 2(x^2 - 2x) - 5 = 2(x^2 - 2x + 1 - 1) - 5 = 2((x-1)^2 - 1) - 5 = 2(x-1)^2 - 2 - 5$.
$y = 2(x-1)^2 - 7$.
Это парабола, ветви которой направлены вверх (коэффициент при $(x-1)^2$ положителен), с вершиной в точке $(1, -7)$.
Найдем точки пересечения с осями:
При $x=0$, $y = -5$. Пересечение с осью OY в точке $(0, -5)$.
При $y=0$, $2x^2 - 4x - 5 = 0$. Дискриминант $D = (-4)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 16 + 40 = 56$.
Корни: $x = \frac{4 \pm \sqrt{56}}{4} = 1 \pm \frac{\sqrt{14}}{2}$. Точки пересечения с OX: $(1 - \frac{\sqrt{14}}{2}, 0)$ и $(1 + \frac{\sqrt{14}}{2}, 0)$.

Ответ: Парабола $y = 2(x-1)^2 - 7$ с вершиной в точке $(1, -7)$, ветвями вверх.

1.77. Изобразите фигуры, заданные неравенствами:

1) $x - 2y + 1 \geq 0;$

2) $2x + y \leq 4;$

3) $|x| - 2y + 1 < 0;$

4) $2|x| + y > 4;$

5) $y + x^2 \leq 2x;$

6) $y - x^2 + x > 1;$

7) $x^2 + y^2 - 2x + 4y \leq 4;$

8) $(x + 1)^2 + (y - 1)^2 > 4;$

9) $xy \leq 2;$

10) $(x - 2)y > 1.$

1) Исходное неравенство: $x - 2y + 1 \ge 0$.

Это линейное неравенство. Сначала построим граничную прямую, заменив знак неравенства на равенство: $x - 2y + 1 = 0$. Выразим $y$: $2y = x + 1$, или $y = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}$. Это уравнение прямой. Поскольку неравенство нестрогое ($\ge$), прямая будет сплошной и является частью решения.

Для определения области решения выберем контрольную точку, не лежащую на прямой, например, начало координат $(0, 0)$. Подставим ее в исходное неравенство: $0 - 2(0) + 1 \ge 0$, что дает $1 \ge 0$. Это верное утверждение, следовательно, область решения включает в себя полуплоскость, содержащую точку $(0, 0)$.

Фигура представляет собой полуплоскость, расположенную ниже и правее прямой $y = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}$, включая саму прямую.

Ответ: Полуплоскость, ограниченная прямой $x - 2y + 1 = 0$ и содержащая начало координат.

2) Исходное неравенство: $2x + y \le 4$.

Это линейное неравенство. Граничная прямая имеет уравнение $2x + y = 4$, или $y = -2x + 4$. Неравенство нестрогое ($\le$), поэтому прямая сплошная.

Проверим контрольную точку $(0, 0)$: $2(0) + 0 \le 4$, что дает $0 \le 4$. Это верно, значит, решением является полуплоскость, содержащая начало координат.

Фигура представляет собой полуплоскость, расположенную ниже прямой $y = -2x + 4$, включая саму прямую.

Ответ: Полуплоскость, ограниченная прямой $2x + y = 4$ и содержащая начало координат.

3) Исходное неравенство: $|x| - 2y + 1 < 0$.

Преобразуем неравенство: $2y > |x| + 1$, или $y > \frac{1}{2}|x| + \frac{1}{2}$.

Границей является график функции $y = \frac{1}{2}|x| + \frac{1}{2}$, который состоит из двух лучей, исходящих из точки $(0, \frac{1}{2})$: $y = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}$ при $x \ge 0$ и $y = -\frac{1}{2}x + \frac{1}{2}$ при $x < 0$. Неравенство строгое ($<$), поэтому граница изображается пунктирной линией.

Решением является область, лежащая выше "галочки" графика $y = \frac{1}{2}|x| + \frac{1}{2}$.

Ответ: Область над графиком функции $y=\frac{1}{2}|x| + \frac{1}{2}$.

4) Исходное неравенство: $2|x| + y > 4$.

Преобразуем неравенство: $y > 4 - 2|x|$.

Границей является график функции $y = 4 - 2|x|$, который представляет собой перевернутую "галочку" с вершиной в точке $(0, 4)$. При $x \ge 0$ имеем $y = 4 - 2x$, при $x < 0$ имеем $y = 4 + 2x$. Неравенство строгое ($>$), поэтому граница пунктирная.

Решением является область, лежащая выше графика $y = 4 - 2|x|$.

Ответ: Область, расположенная над графиком $y = 4 - 2|x|$.

5) Исходное неравенство: $y + x^2 \le 2x$.

Преобразуем: $y \le -x^2 + 2x$. Границей является парабола $y = -x^2 + 2x$. Это парабола с ветвями, направленными вниз. Найдем вершину: $x_v = -b/(2a) = -2/(2(-1)) = 1$, $y_v = -(1)^2 + 2(1) = 1$. Вершина в точке $(1, 1)$. Неравенство нестрогое ($\le$), поэтому граница сплошная.

Решением является область, расположенная под параболой, включая саму параболу.

Ответ: Область, ограниченная сверху параболой $y = -x^2 + 2x$, включая границу.

6) Исходное неравенство: $y - x^2 + x > 1$.

Преобразуем: $y > x^2 - x + 1$. Границей является парабола $y = x^2 - x + 1$. Это парабола с ветвями, направленными вверх. Вершина: $x_v = -(-1)/(2 \cdot 1) = 0.5$, $y_v = (0.5)^2 - 0.5 + 1 = 0.75$. Вершина в точке $(0.5, 0.75)$. Неравенство строгое ($>$), граница пунктирная.

Решением является область, расположенная "внутри" (над) параболой.

Ответ: Внутренняя область параболы $y = x^2 - x + 1$.

7) Исходное неравенство: $x^2 + y^2 - 2x + 4y \le 4$.

Выделим полные квадраты: $(x^2 - 2x + 1) - 1 + (y^2 + 4y + 4) - 4 \le 4$.

$(x-1)^2 + (y+2)^2 - 5 \le 4$, что дает $(x-1)^2 + (y+2)^2 \le 9$.

Это неравенство описывает круг с центром в точке $(1, -2)$ и радиусом $r = \sqrt{9} = 3$. Неравенство нестрогое ($\le$), поэтому граница (окружность) является частью решения.

Фигура представляет собой замкнутый круг.

Ответ: Круг с центром в $(1, -2)$ и радиусом 3, включая окружность.

8) Исходное неравенство: $(x+1)^2 + (y-1)^2 > 4$.

Неравенство можно записать как $(x-(-1))^2 + (y-1)^2 > 2^2$.

Это неравенство описывает все точки, находящиеся вне окружности с центром в точке $(-1, 1)$ и радиусом $r=2$. Неравенство строгое ($>$), поэтому сама окружность не входит в решение и изображается пунктирной линией.

Фигура представляет собой всю плоскость, за исключением открытого круга.

Ответ: Внешность круга с центром в $(-1, 1)$ и радиусом 2.

9) Исходное неравенство: $xy \le 2$.

Границей является гипербола $y = 2/x$. Асимптотами являются оси координат. Неравенство нестрогое ($\le$), поэтому гипербола сплошная.

Рассмотрим два случая:
1. Если $x > 0$, неравенство принимает вид $y \le 2/x$. Это область под ветвью гиперболы в первом квадранте.
2. Если $x < 0$, при делении на $x$ знак неравенства меняется: $y \ge 2/x$. Это область над ветвью гиперболы в третьем квадранте.
3. Если $x=0$, неравенство $0 \le 2$ верно, т.е. вся ось OY является решением.Решением является область "между" ветвями гиперболы, включая оси координат.

Ответ: Область, содержащая оси координат и ограниченная ветвями гиперболы $y=2/x$.

10) Исходное неравенство: $(x-2)y > 1$.

Границей является кривая $(x-2)y=1$, или $y = \frac{1}{x-2}$. Это гипербола, смещенная на 2 единицы вправо. Асимптоты: $x=2$ и $y=0$. Неравенство строгое ($>$), граница пунктирная.

Рассмотрим два случая:
1. Если $x-2 > 0$ (т.е. $x > 2$), неравенство принимает вид $y > \frac{1}{x-2}$. Это область над ветвью гиперболы справа от асимптоты $x=2$.
2. Если $x-2 < 0$ (т.е. $x < 2$), знак неравенства меняется: $y < \frac{1}{x-2}$. Это область под ветвью гиперболы слева от асимптоты $x=2$.

Ответ: Объединение двух областей: для $x > 2$ область над ветвью гиперболы $y = 1/(x-2)$, а для $x < 2$ область под другой ветвью той же гиперболы.

1.78*. Задайте системой неравенств многоугольник с вершинами в точках:

1) A($-3; 4$), B($2; 1$), C($4; -2$);

2) A($-4; 0$), B($0; 5$), C($4; 0$), D($0; -5$);

3) A($-4; -1$), B($-2; 2$), C($2; 3$), D($4; 0$), E($1; -4$).

В упражнениях 1.79–1.82* постройте фигуры, заданные неравенствами или системой неравенств:

1) Зададим многоугольник с вершинами в точках A(-3; 4), B(2; 1), C(4; -2) системой неравенств.Этот многоугольник является треугольником ABC. Его границы — это отрезки AB, BC и AC. Для каждой стороны найдем уравнение прямой, на которой она лежит, и преобразуем его в неравенство. Для определения знака неравенства будем использовать в качестве тестовой точки третью вершину треугольника, не лежащую на рассматриваемой прямой.

• Прямая AB, проходящая через точки A(-3; 4) и B(2; 1).
Уравнение прямой: $\frac{x - (-3)}{2 - (-3)} = \frac{y - 4}{1 - 4}$, что упрощается до $\frac{x + 3}{5} = \frac{y - 4}{-3}$.
Отсюда, $-3(x + 3) = 5(y - 4) \Rightarrow -3x - 9 = 5y - 20 \Rightarrow 3x + 5y - 11 = 0$.
Подставим координаты точки C(4; -2) в левую часть: $3(4) + 5(-2) - 11 = 12 - 10 - 11 = -9$.
Так как $-9 < 0$, то искомое неравенство: $3x + 5y - 11 \le 0$.

• Прямая BC, проходящая через точки B(2; 1) и C(4; -2).
Уравнение прямой: $\frac{x - 2}{4 - 2} = \frac{y - 1}{-2 - 1}$, что упрощается до $\frac{x - 2}{2} = \frac{y - 1}{-3}$.
Отсюда, $-3(x - 2) = 2(y - 1) \Rightarrow -3x + 6 = 2y - 2 \Rightarrow 3x + 2y - 8 = 0$.
Подставим координаты точки A(-3; 4): $3(-3) + 2(4) - 8 = -9 + 8 - 8 = -9$.
Так как $-9 < 0$, то неравенство: $3x + 2y - 8 \le 0$.

• Прямая AC, проходящая через точки A(-3; 4) и C(4; -2).
Уравнение прямой: $\frac{x - (-3)}{4 - (-3)} = \frac{y - 4}{-2 - 4}$, что упрощается до $\frac{x + 3}{7} = \frac{y - 4}{-6}$.
Отсюда, $-6(x + 3) = 7(y - 4) \Rightarrow -6x - 18 = 7y - 28 \Rightarrow 6x + 7y - 10 = 0$.
Подставим координаты точки B(2; 1): $6(2) + 7(1) - 10 = 12 + 7 - 10 = 9$.
Так как $9 > 0$, то неравенство: $6x + 7y - 10 \ge 0$.

Ответ: Искомая система неравенств: $ \begin{cases} 3x + 5y - 11 \le 0 \\ 3x + 2y - 8 \le 0 \\ 6x + 7y - 10 \ge 0 \end{cases} $

2) Зададим многоугольник с вершинами в точках A(-4; 0), B(0; 5), C(4; 0), D(0; -5) системой неравенств.Этот многоугольник является ромбом. Для определения знаков неравенств удобно использовать в качестве тестовой точки начало координат (0; 0), так как оно очевидно лежит внутри фигуры.

• Прямая AB (A(-4; 0), B(0; 5)): $\frac{x+4}{4} = \frac{y}{5} \Rightarrow 5x - 4y + 20 = 0$. Тест (0; 0): $20 > 0 \Rightarrow 5x - 4y + 20 \ge 0$.

• Прямая BC (B(0; 5), C(4; 0)): $\frac{x}{4} = \frac{y-5}{-5} \Rightarrow 5x + 4y - 20 = 0$. Тест (0; 0): $-20 < 0 \Rightarrow 5x + 4y - 20 \le 0$.

• Прямая CD (C(4; 0), D(0; -5)): $\frac{x-4}{-4} = \frac{y}{-5} \Rightarrow 5x - 4y - 20 = 0$. Тест (0; 0): $-20 < 0 \Rightarrow 5x - 4y - 20 \le 0$.

• Прямая DA (D(0; -5), A(-4; 0)): $\frac{x}{-4} = \frac{y+5}{5} \Rightarrow 5x + 4y + 20 = 0$. Тест (0; 0): $20 > 0 \Rightarrow 5x + 4y + 20 \ge 0$.

Ответ: Искомая система неравенств: $ \begin{cases} 5x - 4y + 20 \ge 0 \\ 5x + 4y - 20 \le 0 \\ 5x - 4y - 20 \le 0 \\ 5x + 4y + 20 \ge 0 \end{cases} $

3) Зададим многоугольник с вершинами в точках A(-4; -1), B(-2; 2), C(2; 3), D(4; 0), E(1; -4) системой неравенств.Это пятиугольник. В качестве тестовой точки для определения знака неравенств можно использовать начало координат (0; 0), которое лежит внутри фигуры.

• Прямая AB (A(-4; -1), B(-2; 2)): $\frac{x+4}{2} = \frac{y+1}{3} \Rightarrow 3x - 2y + 10 = 0$. Тест (0; 0): $10 > 0 \Rightarrow 3x - 2y + 10 \ge 0$.

• Прямая BC (B(-2; 2), C(2; 3)): $\frac{x+2}{4} = \frac{y-2}{1} \Rightarrow x - 4y + 10 = 0$. Тест (0; 0): $10 > 0 \Rightarrow x - 4y + 10 \ge 0$.

• Прямая CD (C(2; 3), D(4; 0)): $\frac{x-2}{2} = \frac{y-3}{-3} \Rightarrow 3x + 2y - 12 = 0$. Тест (0; 0): $-12 < 0 \Rightarrow 3x + 2y - 12 \le 0$.

• Прямая DE (D(4; 0), E(1; -4)): $\frac{x-4}{-3} = \frac{y}{-4} \Rightarrow 4x - 3y - 16 = 0$. Тест (0; 0): $-16 < 0 \Rightarrow 4x - 3y - 16 \le 0$.

• Прямая EA (E(1; -4), A(-4; -1)): $\frac{x-1}{-5} = \frac{y+4}{3} \Rightarrow 3x + 5y + 17 = 0$. Тест (0; 0): $17 > 0 \Rightarrow 3x + 5y + 17 \ge 0$.

Ответ: Искомая система неравенств: $ \begin{cases} 3x - 2y + 10 \ge 0 \\ x - 4y + 10 \ge 0 \\ 3x + 2y - 12 \le 0 \\ 4x - 3y - 16 \le 0 \\ 3x + 5y + 17 \ge 0 \end{cases} $

1.79. 1) $(x-2)(|y|-3) \le 0$;

2) $(|x|-1)(y+3) \le 0$;

3) $|y| < 2|x|-3$.

1) $(x-2)(|y|-3)\le 0$

Произведение двух множителей неположительно, если они имеют разные знаки или один из них равен нулю. Рассмотрим два случая:
1. Первая система: $ \begin{cases} x-2 \ge 0 \\ |y|-3 \le 0 \end{cases} $ , что равносильно $ \begin{cases} x \ge 2 \\ |y| \le 3 \end{cases} $ , или $ \begin{cases} x \ge 2 \\ -3 \le y \le 3 \end{cases} $ . Это полубесконечная полоса шириной 6, расположенная справа от прямой $x=2$, включая границы.
2. Вторая система: $ \begin{cases} x-2 \le 0 \\ |y|-3 \ge 0 \end{cases} $ , что равносильно $ \begin{cases} x \le 2 \\ |y| \ge 3 \end{cases} $ , или $ \begin{cases} x \le 2 \\ y \ge 3 \text{ или } y \le -3 \end{cases} $ . Это две области: одна находится левее прямой $x=2$ и выше прямой $y=3$, другая — левее прямой $x=2$ и ниже прямой $y=-3$. Границы областей включены.
Объединение решений этих двух систем является решением исходного неравенства.
Ответ:

2) $(|x|-1)(y+3)\le 0$

Аналогично первому пункту, произведение неположительно, если множители имеют разные знаки (или один из них равен нулю).
1. Первая система: $ \begin{cases} |x|-1 \ge 0 \\ y+3 \le 0 \end{cases} $ , что равносильно $ \begin{cases} |x| \ge 1 \\ y \le -3 \end{cases} $ , или $ \begin{cases} x \ge 1 \text{ или } x \le -1 \\ y \le -3 \end{cases} $ . Это две полубесконечные области, расположенные ниже прямой $y=-3$ и соответственно правее прямой $x=1$ и левее прямой $x=-1$.
2. Вторая система: $ \begin{cases} |x|-1 \le 0 \\ y+3 \ge 0 \end{cases} $ , что равносильно $ \begin{cases} |x| \le 1 \\ y \ge -3 \end{cases} $ , или $ \begin{cases} -1 \le x \le 1 \\ y \ge -3 \end{cases} $ . Это полубесконечная полоса шириной 2, ограниченная прямыми $x=-1$ и $x=1$, и расположенная выше прямой $y=-3$.
Границы областей включены в решение. Объединение решений этих двух систем дает итоговое множество точек.
Ответ:

3) $|y| < 2|x| - 3$

Поскольку модуль числа всегда неотрицателен ($|y| \ge 0$), данное неравенство может выполняться только при условии, что правая часть строго положительна: $2|x| - 3 > 0 \implies 2|x| > 3 \implies |x| > 1.5$. Таким образом, решение существует только для $x > 1.5$ или $x < -1.5$.
Исходное неравенство равносильно двойному неравенству: $-(2|x| - 3) < y < 2|x| - 3$, или $3 - 2|x| < y < 2|x| - 3$.
Таким образом, искомое множество точек — это область, заключенная строго между графиками функций $y = 2|x| - 3$ и $y = 3 - 2|x|$.
Границами области являются: - $y = 2x - 3$ и $y = 3 - 2x$ для $x > 1.5$. - $y = -2x - 3$ и $y = 2x + 3$ для $x < -1.5$.
Так как неравенство строгое, границы не включаются в решение и изображаются пунктирной линией.
Ответ:

1.80.

1) $xy \le 1$;

2) $|x|y \le 1$;

3) $x|y| \le 1$;

4) $|xy| \le 1$.

1) $xy \le 1$

Границей области является гипербола $xy = 1$, или в явном виде $y = 1/x$. Для определения множества точек, удовлетворяющих неравенству, рассмотрим три случая.
1. Если $x > 0$, неравенство можно разделить на $x$, сохранив знак: $y \le 1/x$. Это область, расположенная на и под ветвью гиперболы в первом квадранте. Эта область включает в себя также весь четвертый квадрант, где $x > 0$ и $y \le 0$, так как произведение $xy$ в этом случае неположительно и, следовательно, меньше или равно 1.
2. Если $x < 0$, при делении на $x$ знак неравенства меняется на противоположный: $y \ge 1/x$. Это область, расположенная на и над ветвью гиперболы в третьем квадранте. Эта область включает также весь второй квадрант, где $x < 0$ и $y > 0$, так как произведение $xy$ отрицательно.
3. Если $x = 0$, неравенство принимает вид $0 \cdot y \le 1$, то есть $0 \le 1$, что верно для любого значения $y$. Таким образом, вся ось ординат ($Oy$) является частью решения.
Объединяя все случаи, получаем, что искомое множество точек — это область, заключенная "между" двумя ветвями гиперболы $y=1/x$, включая сами ветви и оси координат.

Ответ:

2) $|x|y \le 1$

Для решения этого неравенства раскроем модуль $|x|$.
1. Если $x \ge 0$, то $|x| = x$, и неравенство принимает вид $xy \le 1$. В правой полуплоскости ($x \ge 0$) решение совпадает с решением из пункта 1 для $x \ge 0$. Это область $y \le 1/x$ для $x > 0$ и вся ось $Oy$.
2. Если $x < 0$, то $|x| = -x$, и неравенство становится $-xy \le 1$, что равносильно $xy \ge -1$. Поскольку $x$ отрицателен, деление на него меняет знак неравенства: $y \le -1/x$. Границей в этом случае является гипербола $y = -1/x$, а решением — область на и под ее ветвью во второй четверти.
Искомое множество — это область, лежащая ниже кривой, образованной ветвью гиперболы $y = 1/x$ в первой четверти и ветвью гиперболы $y = -1/x$ во второй четверти, включая сами границы и ось $Oy$.

Ответ:

3) $x|y| \le 1$

Данное неравенство можно проанализировать, рассмотрев знаки $x$.
1. Если $x > 0$, неравенство можно переписать как $|y| \le 1/x$. Это эквивалентно двойному неравенству $-1/x \le y \le 1/x$. Геометрически это область, заключенная между ветвью гиперболы $y = 1/x$ в первом квадранте и ветвью гиперболы $y = -1/x$ в четвертом квадранте.
2. Если $x \le 0$, то произведение $x|y|$ является неположительным числом (либо отрицательным, либо нулем), так как $|y| \ge 0$. Любое неположительное число всегда меньше или равно 1, поэтому неравенство $x|y| \le 1$ выполняется для всех $x \le 0$ и любых $y$. Это соответствует всей левой полуплоскости, включая ось $Oy$.
Искомое множество является объединением всей левой полуплоскости ($x \le 0$) и области в правой полуплоскости ($x > 0$), заключенной между ветвями гипербол $y=1/x$ и $y=-1/x$.

Ответ:

4) $|xy| \le 1$

Неравенство $|xy| \le 1$ можно переписать в виде двойного неравенства: $-1 \le xy \le 1$. Границами искомой области являются две гиперболы: $xy = 1$ и $xy = -1$.
1. Если $x > 0$, деление на $x$ дает $-1/x \le y \le 1/x$. Это область, заключенная между ветвями гипербол $y=1/x$ и $y=-1/x$ в правой полуплоскости.
2. Если $x < 0$, деление на $x$ меняет знаки неравенств: $1/x \ge y \ge -1/x$, что эквивалентно $-1/x \le y \le 1/x$. Это область, заключенная между ветвями гипербол $y=1/x$ и $y=-1/x$ в левой полуплоскости.
3. Если $x = 0$, неравенство $|0| \le 1$ выполняется. Значит, ось $Oy$ входит в решение. Аналогично, при $y = 0$ ось $Ox$ также входит в решение.
Объединяя эти случаи, получаем, что искомое множество точек — это область, полностью заключенная между четырьмя ветвями гипербол $y=1/x$ и $y=-1/x$.

Ответ:

1.81. 1) $y \geq x^2 - 5|x| + 6;$

2) $y < |x^2 - 5x + 6|.$

1) $y \ge x^2 - 5|x| + 6$

Для решения этого неравенства необходимо изобразить на координатной плоскости множество точек $(x, y)$, удовлетворяющих данному условию.

Сначала построим график граничной функции $y = x^2 - 5|x| + 6$.Эта функция является четной, так как $x^2 = |x|^2$, и ее можно записать как $y = |x|^2 - 5|x| + 6$. Четность функции означает, что ее график симметричен относительно оси ординат (оси OY). Поэтому мы можем сначала построить график для $x \ge 0$, а затем симметрично отразить его относительно оси OY.

Случай 1: $x \ge 0$

При $x \ge 0$ модуль $|x|$ раскрывается как $x$, и уравнение принимает вид:$y = x^2 - 5x + 6$Это уравнение параболы с ветвями, направленными вверх.Найдем ее ключевые точки:

• Вершина параболы:
  Абсцисса вершины: $x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-5}{2 \cdot 1} = 2.5$.
  Ордината вершины: $y_v = (2.5)^2 - 5(2.5) + 6 = 6.25 - 12.5 + 6 = -0.25$.
  Координаты вершины: $(2.5, -0.25)$.
• Точки пересечения с осью OX (нули функции):
  $x^2 - 5x + 6 = 0$
  С помощью теоремы Виета или через дискриминант находим корни: $(x-2)(x-3) = 0$, откуда $x_1 = 2$, $x_2 = 3$. Точки пересечения: $(2, 0)$ и $(3, 0)$.
• Точка пересечения с осью OY:
  При $x=0$, $y = 0^2 - 5(0) + 6 = 6$. Точка пересечения: $(0, 6)$.

Случай 2: $x < 0$

График для $x < 0$ является зеркальным отражением графика для $x > 0$ относительно оси OY. Таким образом, мы получаем симметричные ключевые точки:

• Вершина: $(-2.5, -0.25)$.
• Точки пересечения с осью OX: $(-2, 0)$ и $(-3, 0)$.

Решение неравенства

Неравенство $y \ge x^2 - 5|x| + 6$ означает, что искомое множество точек включает в себя все точки на самой кривой $y = x^2 - 5|x| + 6$ (поскольку знак неравенства нестрогий, $\ge$) и все точки, расположенные выше этой кривой.

Таким образом, решением является область, заштрихованная на графике ниже, включая ее границу.

Ответ: Решением неравенства является область на координатной плоскости, расположенная выше графика функции $y = x^2 - 5|x| + 6$, включая саму границу. График представляет собой две параболические ветви, симметричные относительно оси OY, с вершинами в точках $(-2.5, -0.25)$ и $(2.5, -0.25)$.

2) $y < |x^2 - 5x + 6|$

Требуется найти и изобразить множество точек $(x, y)$, для которых выполняется данное строгое неравенство.

Построим график граничной функции $y = |x^2 - 5x + 6|$.Для этого сначала построим параболу $y = g(x) = x^2 - 5x + 6$. Как мы выяснили в предыдущем пункте, это парабола с ветвями вверх, вершиной в точке $(2.5, -0.25)$ и пересечениями с осью OX в точках $x=2$ и $x=3$.

Операция взятия модуля $|g(x)|$ означает, что часть графика, которая находится ниже оси OX (где $g(x) < 0$), симметрично отражается вверх относительно этой оси.

• Для $x \in (-\infty, 2] \cup [3, \infty)$, значение $x^2 - 5x + 6$ неотрицательно, поэтому график $y = |x^2 - 5x + 6|$ совпадает с графиком параболы $y = x^2 - 5x + 6$.
• Для $x \in (2, 3)$, значение $x^2 - 5x + 6$ отрицательно. Поэтому на этом интервале график строится по уравнению $y = -(x^2 - 5x + 6) = -x^2 + 5x - 6$. Это парабола с ветвями вниз, вершина которой (локальный максимум) находится в точке $(2.5, 0.25)$.

Решение неравенства

Неравенство $y < |x^2 - 5x + 6|$ является строгим, поэтому точки на самой границе не входят в решение. Граница изображается пунктирной линией.Решением является множество всех точек, расположенных ниже графика $y = |x^2 - 5x + 6|$.

Ответ: Решением неравенства является область на координатной плоскости, расположенная ниже графика функции $y = |x^2 - 5x + 6|$. Граница области, изображенная пунктирной линией, в решение не входит.