Номер 1.76, страница 38 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.76. Постройте графики фигур, заданных уравнениями:

1) $x^2+y^2=16$;

2) $(x+1)^2+(y+1)^2=9$;

3) $x^2+y^2-4x+6y=12$;

4) $x^2+y^2-x-y=\frac{7}{4}$;

5) $x^2+2x+y=0$;

6) $2x^2-4x-y=5$.

1)Уравнение $x^2+y^2=16$ представляет собой каноническое уравнение окружности вида $(x-a)^2+(y-b)^2=R^2$, где $(a, b)$ — координаты центра, а $R$ — радиус.
В данном случае уравнение можно записать как $(x-0)^2+(y-0)^2=4^2$.
Следовательно, центр окружности находится в точке $O(0, 0)$, а ее радиус равен $R=4$.

Ответ: Окружность с центром в точке $(0, 0)$ и радиусом $4$.

2)Уравнение $(x+1)^2+(y+1)^2=9$ также является уравнением окружности.
Представим его в каноническом виде $(x-a)^2+(y-b)^2=R^2$: $(x - (-1))^2 + (y - (-1))^2 = 3^2$.
Отсюда видно, что центр окружности находится в точке $C(-1, -1)$, а ее радиус равен $R=3$.

Ответ: Окружность с центром в точке $(-1, -1)$ и радиусом $3$.

3)Чтобы привести уравнение $x^2+y^2-4x+6y=12$ к каноническому виду, применим метод выделения полного квадрата для переменных $x$ и $y$.
Сгруппируем слагаемые: $(x^2 - 4x) + (y^2 + 6y) = 12$.
Дополняем до полного квадрата:
$(x^2 - 4x + 4) - 4 + (y^2 + 6y + 9) - 9 = 12$.
$(x-2)^2 + (y+3)^2 - 13 = 12$.
$(x-2)^2 + (y+3)^2 = 25$.
$(x-2)^2 + (y - (-3))^2 = 5^2$.
Это уравнение окружности с центром в точке $C(2, -3)$ и радиусом $R=5$.

Ответ: Окружность с центром в точке $(2, -3)$ и радиусом $5$.

4)Преобразуем уравнение $x^2 + y^2 - x - y = -\frac{7}{4}$, используя метод выделения полного квадрата.
$(x^2 - x) + (y^2 - y) = -\frac{7}{4}$.
$(x^2 - 2 \cdot x \cdot \frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^2) - (\frac{1}{2})^2 + (y^2 - 2 \cdot y \cdot \frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^2) - (\frac{1}{2})^2 = -\frac{7}{4}$.
$(x - \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4} + (y - \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4} = -\frac{7}{4}$.
$(x - \frac{1}{2})^2 + (y - \frac{1}{2})^2 = -\frac{7}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4}$.
$(x - \frac{1}{2})^2 + (y - \frac{1}{2})^2 = -\frac{5}{4}$.
Слева стоит сумма квадратов, которая всегда неотрицательна. Справа стоит отрицательное число. Это уравнение не имеет решений в действительных числах, следовательно, оно не задает никакой фигуры на плоскости. Множество точек, удовлетворяющих этому уравнению, пусто.

Ответ: Уравнение не задает никакой фигуры (пустое множество).

5)Уравнение $x^2+2x+y=0$ является уравнением параболы, так как одна переменная ($x$) входит в уравнение во второй степени, а другая ($y$) — в первой.
Выразим $y$ через $x$, чтобы привести уравнение к виду $y = ax^2+bx+c$:
$y = -x^2 - 2x$.
Найдем вершину параболы, выделив полный квадрат:
$y = -(x^2 + 2x) = -(x^2 + 2x + 1 - 1) = -((x+1)^2 - 1) = -(x+1)^2 + 1$.
Это парабола, ветви которой направлены вниз (коэффициент при $(x+1)^2$ отрицателен), с вершиной в точке $(-1, 1)$.
Найдем точки пересечения с осями:
При $x=0$, $y=0$. Пересечение с осью OY в точке $(0, 0)$.
При $y=0$, $-x(x+2)=0$, откуда $x=0$ или $x=-2$. Пересечения с осью OX в точках $(0, 0)$ и $(-2, 0)$.

Ответ: Парабола $y = -(x+1)^2 + 1$ с вершиной в точке $(-1, 1)$, ветвями вниз.

6)Уравнение $2x^2-4x-y=5$ также задает параболу.
Выразим $y$: $y = 2x^2 - 4x - 5$.
Найдем вершину, выделив полный квадрат:
$y = 2(x^2 - 2x) - 5 = 2(x^2 - 2x + 1 - 1) - 5 = 2((x-1)^2 - 1) - 5 = 2(x-1)^2 - 2 - 5$.
$y = 2(x-1)^2 - 7$.
Это парабола, ветви которой направлены вверх (коэффициент при $(x-1)^2$ положителен), с вершиной в точке $(1, -7)$.
Найдем точки пересечения с осями:
При $x=0$, $y = -5$. Пересечение с осью OY в точке $(0, -5)$.
При $y=0$, $2x^2 - 4x - 5 = 0$. Дискриминант $D = (-4)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 16 + 40 = 56$.
Корни: $x = \frac{4 \pm \sqrt{56}}{4} = 1 \pm \frac{\sqrt{14}}{2}$. Точки пересечения с OX: $(1 - \frac{\sqrt{14}}{2}, 0)$ и $(1 + \frac{\sqrt{14}}{2}, 0)$.

Ответ: Парабола $y = 2(x-1)^2 - 7$ с вершиной в точке $(1, -7)$, ветвями вверх.