Номер 1.79, страница 38 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.79. 1) $(x-2)(|y|-3) \le 0$;

2) $(|x|-1)(y+3) \le 0$;

3) $|y| < 2|x|-3$.

1) $(x-2)(|y|-3)\le 0$

Произведение двух множителей неположительно, если они имеют разные знаки или один из них равен нулю. Рассмотрим два случая:
1. Первая система: $ \begin{cases} x-2 \ge 0 \\ |y|-3 \le 0 \end{cases} $ , что равносильно $ \begin{cases} x \ge 2 \\ |y| \le 3 \end{cases} $ , или $ \begin{cases} x \ge 2 \\ -3 \le y \le 3 \end{cases} $ . Это полубесконечная полоса шириной 6, расположенная справа от прямой $x=2$, включая границы.
2. Вторая система: $ \begin{cases} x-2 \le 0 \\ |y|-3 \ge 0 \end{cases} $ , что равносильно $ \begin{cases} x \le 2 \\ |y| \ge 3 \end{cases} $ , или $ \begin{cases} x \le 2 \\ y \ge 3 \text{ или } y \le -3 \end{cases} $ . Это две области: одна находится левее прямой $x=2$ и выше прямой $y=3$, другая — левее прямой $x=2$ и ниже прямой $y=-3$. Границы областей включены.
Объединение решений этих двух систем является решением исходного неравенства.
Ответ:

2) $(|x|-1)(y+3)\le 0$

Аналогично первому пункту, произведение неположительно, если множители имеют разные знаки (или один из них равен нулю).
1. Первая система: $ \begin{cases} |x|-1 \ge 0 \\ y+3 \le 0 \end{cases} $ , что равносильно $ \begin{cases} |x| \ge 1 \\ y \le -3 \end{cases} $ , или $ \begin{cases} x \ge 1 \text{ или } x \le -1 \\ y \le -3 \end{cases} $ . Это две полубесконечные области, расположенные ниже прямой $y=-3$ и соответственно правее прямой $x=1$ и левее прямой $x=-1$.
2. Вторая система: $ \begin{cases} |x|-1 \le 0 \\ y+3 \ge 0 \end{cases} $ , что равносильно $ \begin{cases} |x| \le 1 \\ y \ge -3 \end{cases} $ , или $ \begin{cases} -1 \le x \le 1 \\ y \ge -3 \end{cases} $ . Это полубесконечная полоса шириной 2, ограниченная прямыми $x=-1$ и $x=1$, и расположенная выше прямой $y=-3$.
Границы областей включены в решение. Объединение решений этих двух систем дает итоговое множество точек.
Ответ:

3) $|y| < 2|x| - 3$

Поскольку модуль числа всегда неотрицателен ($|y| \ge 0$), данное неравенство может выполняться только при условии, что правая часть строго положительна: $2|x| - 3 > 0 \implies 2|x| > 3 \implies |x| > 1.5$. Таким образом, решение существует только для $x > 1.5$ или $x < -1.5$.
Исходное неравенство равносильно двойному неравенству: $-(2|x| - 3) < y < 2|x| - 3$, или $3 - 2|x| < y < 2|x| - 3$.
Таким образом, искомое множество точек — это область, заключенная строго между графиками функций $y = 2|x| - 3$ и $y = 3 - 2|x|$.
Границами области являются: - $y = 2x - 3$ и $y = 3 - 2x$ для $x > 1.5$. - $y = -2x - 3$ и $y = 2x + 3$ для $x < -1.5$.
Так как неравенство строгое, границы не включаются в решение и изображаются пунктирной линией.
Ответ: