Номер 1.74, страница 38 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

Рис. 1.9

1.74. Постройте графики системы неравенств:

$\begin{cases} x^2 + y^2 \leq 64, \\ x > 0; \end{cases}$

$\begin{cases} x^2 + y^2 \leq 25, \\ y \geq 5 - x; \end{cases}$

$\begin{cases} 4 \leq x^2 + y^2 \leq 16, \\ x \leq y. \end{cases}$

1)

Рассмотрим систему неравенств:

$\begin{cases}x^2 + y^2 \le 64 \\x > 0\end{cases}$

Первое неравенство, $x^2 + y^2 \le 64$, задает множество точек на координатной плоскости, находящихся внутри и на границе окружности с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $R = \sqrt{64} = 8$. Это замкнутый круг.

Второе неравенство, $x > 0$, задает множество точек, у которых абсцисса (координата $x$) положительна. Это открытая правая полуплоскость, то есть все точки справа от оси ординат ($y$). Сама ось $y$ (где $x=0$) в решение не входит, поэтому ее граница будет изображаться пунктирной линией.

Решением системы является пересечение этих двух множеств: правая половина круга с радиусом 8, включая дугу окружности, но не включая диаметр, лежащий на оси $y$.

Ответ: Графиком является правый полукруг с центром в (0,0) и радиусом 8. Дуга окружности включена в решение, а вертикальный диаметр на оси Y — нет.

2)

Рассмотрим систему неравенств:

$\begin{cases}x^2 + y^2 \le 25 \\y \ge 5 - x\end{cases}$

Первое неравенство, $x^2 + y^2 \le 25$, задает замкнутый круг с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $R = \sqrt{25} = 5$.

Второе неравенство, $y \ge 5 - x$, задает полуплоскость. Границей этой полуплоскости является прямая $y = 5 - x$. Эта прямая проходит через точки $(0, 5)$ и $(5, 0)$. Знак "$\ge$" означает, что решением является сама прямая и все точки, лежащие над ней.

Решением системы является пересечение круга и полуплоскости. Это сегмент круга, который находится выше прямой $y = 5-x$. Так как оба неравенства нестрогие ($\le$ и $\ge$), все границы области включены в решение.

Ответ: Графиком является сегмент круга радиусом 5 с центром в (0,0), отсекаемый сверху прямой $y = 5 - x$. Все границы включены в решение.

3)

Рассмотрим систему неравенств:

$\begin{cases}4 \le x^2 + y^2 \le 16 \\x \le y\end{cases}$

Первое двойное неравенство $4 \le x^2 + y^2 \le 16$ задает множество точек, расположенных между двумя концентрическими окружностями с центром в начале координат. Внутренняя окружность имеет радиус $r_1 = \sqrt{4} = 2$, а внешняя — $r_2 = \sqrt{16} = 4$. Область включает обе окружности. Эта фигура называется кольцом или аннулусом.

Второе неравенство, $x \le y$ (или $y \ge x$), задает полуплоскость, границей которой является прямая $y=x$ (биссектриса первого и третьего координатных углов). Решением являются точки на самой прямой и все точки, лежащие "выше" этой прямой (например, точка $(-1, 1)$ удовлетворяет неравенству).

Решением системы является пересечение кольца и полуплоскости. Это та часть кольца, которая лежит на и выше прямой $y=x$. Все границы (два отрезка прямой и две дуги окружностей) включены в решение.

Ответ: Графиком является часть кольца между окружностями радиусов 2 и 4, расположенная на и выше прямой $y=x$.