Номер 1.75, страница 38 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.75. Постройте графики фигур, заданных уравнениями:

1) $2x - y = 3;$

2) $x + y - 2 = 0;$

3) $2|x| - y = 3;$

4) $|x| + y - 2 = 0;$

5) $2x - y = 3, -1 \le x \le 3;$

6) $x + y = 2, -1 \le x \le 2;$

7) $|x| + y = 2, -1 \le x \le 2.$

1) $2x - y = 3$
Данное уравнение является линейным. Чтобы построить его график, выразим переменную $y$ через $x$:
$y = 2x - 3$
Графиком этого уравнения является прямая линия. Для ее построения достаточно найти координаты двух любых точек, удовлетворяющих уравнению.
Возьмем $x = 0$, тогда $y = 2 \cdot 0 - 3 = -3$. Получаем точку $(0, -3)$.
Возьмем $x = 2$, тогда $y = 2 \cdot 2 - 3 = 1$. Получаем точку $(2, 1)$.
Проведем прямую через эти две точки.
Ответ: Графиком является прямая линия, проходящая через точки $(0, -3)$ и $(2, 1)$.

2) $x + y - 2 = 0$
Данное уравнение является линейным. Выразим $y$ через $x$:
$y = -x + 2$
Графиком является прямая. Найдем две точки для ее построения.
При $x = 0$, $y = -0 + 2 = 2$. Точка $(0, 2)$.
При $x = 2$, $y = -2 + 2 = 0$. Точка $(2, 0)$.
Проведем прямую через эти точки.
Ответ: Графиком является прямая линия, проходящая через точки $(0, 2)$ и $(2, 0)$.

3) $2|x| - y = 3$
Преобразуем уравнение, выразив $y$:
$y = 2|x| - 3$
Это уравнение содержит модуль $x$. Для построения графика рассмотрим два случая:
1. Если $x \ge 0$, то $|x| = x$, и уравнение принимает вид $y = 2x - 3$. Это луч, выходящий из точки $(0, -3)$ и проходящий через все точки с $x \ge 0$. Например, через $(2, 1)$.
2. Если $x < 0$, то $|x| = -x$, и уравнение принимает вид $y = -2x - 3$. Это луч, выходящий из точки $(0, -3)$ и проходящий через все точки с $x < 0$. Например, через $(-2, 1)$.
График представляет собой объединение двух лучей, исходящих из одной точки.
Ответ: График — ломаная линия (V-образная "галочка") с вершиной в точке $(0, -3)$ и ветвями, направленными вверх.

4) $|x| + y - 2 = 0$
Преобразуем уравнение, выразив $y$:
$y = -|x| + 2$
Это уравнение с модулем. Рассмотрим два случая:
1. Если $x \ge 0$, то $|x| = x$, и уравнение становится $y = -x + 2$. Это луч с началом в точке $(0, 2)$, проходящий через $(2, 0)$.
2. Если $x < 0$, то $|x| = -x$, и уравнение становится $y = -(-x) + 2 = x + 2$. Это луч с началом в точке $(0, 2)$, проходящий через $(-2, 0)$.
График состоит из двух лучей, симметричных относительно оси OY.
Ответ: График — ломаная линия (перевернутая "галочка") с вершиной в точке $(0, 2)$ и ветвями, направленными вниз.

5) $2x - y = 3, -1 \le x \le 3$
Это уравнение прямой $y = 2x - 3$, но с ограничением на значения $x$: $-1 \le x \le 3$.
Следовательно, графиком будет не вся прямая, а только ее отрезок. Найдем координаты концов этого отрезка.
При $x = -1$, $y = 2(-1) - 3 = -5$. Конечная точка $(-1, -5)$.
При $x = 3$, $y = 2(3) - 3 = 3$. Конечная точка $(3, 3)$.
Соединим эти две точки.
Ответ: Графиком является отрезок прямой с концами в точках $(-1, -5)$ и $(3, 3)$.

6) $x + y = 2, -1 \le x \le 2$
Это уравнение прямой $y = -x + 2$ с ограничением на $x$: $-1 \le x \le 2$.
Графиком является отрезок. Найдем его конечные точки.
При $x = -1$, $y = -(-1) + 2 = 3$. Конечная точка $(-1, 3)$.
При $x = 2$, $y = -(2) + 2 = 0$. Конечная точка $(2, 0)$.
Соединим эти точки отрезком.
Ответ: Графиком является отрезок прямой с концами в точках $(-1, 3)$ и $(2, 0)$.

7) $|x| + y = 2, -1 \le x \le 2$
Это график функции $y = -|x| + 2$ с ограничением на $x$: $-1 \le x \le 2$.
Графиком будет ломаная линия. Рассмотрим ее на двух участках в пределах заданного интервала.
1. Для $x \in [-1, 0)$, уравнение имеет вид $y = x + 2$. Это отрезок от точки, где $x=-1$ (т.е. $y=-1+2=1$), до точки, где $x=0$ (т.е. $y=0+2=2$). Отрезок соединяет точки $(-1, 1)$ и $(0, 2)$.
2. Для $x \in [0, 2]$, уравнение имеет вид $y = -x + 2$. Это отрезок от точки, где $x=0$ (т.е. $y=2$), до точки, где $x=2$ (т.е. $y=-2+2=0$). Отрезок соединяет точки $(0, 2)$ и $(2, 0)$.
Итоговая фигура — это объединение этих двух отрезков.
Ответ: Графиком является ломаная линия, состоящая из двух отрезков, соединяющих последовательно точки $(-1, 1)$, $(0, 2)$ и $(2, 0)$.