Номер 1.70, страница 37 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.70. Решите неравенства графически:

1) $x^2 + y^2 \le 81$;

2) $x^2 + y^2 > 9$;

3) $(x-3)^2 + (y+1)^2 < 25$.

1) $x^2+y^2 \le 81$

Данное неравенство описывает множество точек на координатной плоскости. Границей этой области является кривая, заданная уравнением $x^2+y^2=81$. Это уравнение окружности с центром в начале координат, точке $(0,0)$, и радиусом $r = \sqrt{81} = 9$.

Знак неравенства "$\le$" (меньше или равно) означает, что в решение входят как точки, лежащие внутри окружности, так и точки, лежащие на самой окружности. Поэтому границу (окружность) мы изображаем сплошной линией.

Чтобы определить, какая область является решением (внутренняя или внешняя), выберем контрольную точку, не лежащую на границе. Удобно взять центр окружности, точку $(0,0)$. Подставим ее координаты в исходное неравенство:

$0^2 + 0^2 \le 81$

$0 \le 81$

Неравенство верное. Следовательно, решением является область, содержащая точку $(0,0)$, то есть круг, ограниченный данной окружностью.

Графически решение выглядит следующим образом:

Ответ: Решением неравенства является множество точек, образующих круг с центром в точке $(0,0)$ и радиусом $9$, включая его границу (окружность).

2) $x^2+y^2 > 9$

Границей области, определяемой этим неравенством, является окружность $x^2+y^2=9$. Это окружность с центром в начале координат $(0,0)$ и радиусом $r = \sqrt{9} = 3$.

Знак неравенства "$>$" (строго больше) означает, что точки, лежащие на самой окружности, не входят в решение. Поэтому границу мы изображаем пунктирной линией.

Для определения области решения снова воспользуемся контрольной точкой $(0,0)$:

$0^2 + 0^2 > 9$

$0 > 9$

Это неверное неравенство. Значит, решением является область, не содержащая точку $(0,0)$, то есть все точки плоскости, лежащие вне окружности.

Графическое представление решения:

Ответ: Решением неравенства является множество точек плоскости, расположенных вне окружности с центром в точке $(0,0)$ и радиусом $3$. Граница (окружность) в решение не входит.

3) $(x-3)^2+(y+1)^2 < 25$

Границей области является окружность, заданная уравнением $(x-3)^2+(y+1)^2 = 25$. Перепишем его в стандартном виде $(x-a)^2+(y-b)^2 = r^2$:

$(x-3)^2+(y-(-1))^2 = 5^2$

Отсюда видно, что это окружность с центром в точке $(3, -1)$ и радиусом $r=5$.

Знак неравенства "$<" (строго меньше) означает, что точки на самой окружности в решение не включаются, поэтому граница изображается пунктирной линией.

Проверим, какая область является решением, с помощью контрольной точки. Удобнее всего взять центр окружности $(3, -1)$:

$(3-3)^2+(-1+1)^2 < 25$

$0^2 + 0^2 < 25$

$0 < 25$

Неравенство верное, значит, решением является область внутри окружности.

Графическое решение:

Ответ: Решением неравенства является множество точек, образующих открытый круг (внутренняя часть окружности без самой границы) с центром в точке $(3, -1)$ и радиусом $5$.