Номер 1.66, страница 34 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.66. Решите неравенства:

1) $|x-2|<3;

2) $x^2-5x+60\ge0$.

1) Для решения неравенства $|x-2| < 3$ воспользуемся свойством модуля: неравенство вида $|A| < B$ (при $B>0$) равносильно двойному неравенству $-B < A < B$.
В нашем случае $A = x-2$ и $B = 3$, поэтому получаем:
$-3 < x-2 < 3$
Чтобы найти $x$, прибавим 2 ко всем частям неравенства:
$-3 + 2 < x-2+2 < 3+2$
$-1 < x < 5$
Таким образом, решение неравенства представляет собой интервал от -1 до 5.
Ответ: $x \in (-1; 5)$.

2) Решим квадратное неравенство $x^2 - 5x + 6 \ge 0$.
Сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 5x + 6 = 0$.
По теореме Виета, сумма корней $x_1+x_2=5$, а их произведение $x_1 \cdot x_2=6$. Отсюда корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = 3$.
Теперь можем разложить левую часть неравенства на множители: $(x-2)(x-3) \ge 0$.
Решим это неравенство методом интервалов. Нанесем корни $x=2$ и $x=3$ на числовую ось. Точки закрашиваем, так как неравенство нестрогое. Эти точки разбивают ось на три интервала: $(-\infty; 2)$, $(2; 3)$ и $(3; +\infty)$.

Определим знак выражения $(x-2)(x-3)$ в каждом интервале:
- на интервале $(-\infty; 2)$: возьмем $x=0$, получим $(0-2)(0-3)=6 > 0$. Знак "+".
- на интервале $(2; 3)$: возьмем $x=2.5$, получим $(2.5-2)(2.5-3)=(0.5)(-0.5)=-0.25 < 0$. Знак "-".
- на интервале $(3; +\infty)$: возьмем $x=4$, получим $(4-2)(4-3)=2 > 0$. Знак "+".
Нам нужны значения $x$, при которых выражение больше или равно нулю. Это соответствует промежуткам со знаком "+" и самим корням $x=2$ и $x=3$.
Объединяя эти промежутки, получаем решение.
Ответ: $x \in (-\infty; 2] \cup [3; +\infty)$.