Номер 1.59, страница 33 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.59. Двое рабочих изготовили 131 одинаковую деталь. Из них 65 деталей изготовил первый рабочий, причем на это ему потребовалось затратить на один день меньше, чем второму. В день первый рабочий изготавливает на 2 детали больше, чем второй. Сколько деталей изготовили рабочие за день совместной работы?

Пусть x — количество деталей, которое второй рабочий изготавливает за один день (его производительность). Тогда производительность первого рабочего составляет x + 2 детали в день, так как он изготавливает на 2 детали больше.

Известно, что первый рабочий изготовил 65 деталей. Время, которое он на это затратил, равно $t_1 = \frac{65}{x+2}$ дней.

Второй рабочий изготовил $131 - 65 = 66$ деталей. Время, которое он на это затратил, составляет $t_2 = \frac{66}{x}$ дней.

По условию задачи, первый рабочий потратил на свою работу на один день меньше, чем второй. На основе этого можно составить уравнение:

$t_2 - t_1 = 1$

Подставим выражения для $t_1$ и $t_2$:

$\frac{66}{x} - \frac{65}{x+2} = 1$

Для решения уравнения приведем дроби к общему знаменателю $x(x+2)$. Заметим, что $x > 0$, так как это количество деталей.

$\frac{66(x+2) - 65x}{x(x+2)} = 1$

Поскольку знаменатель не может быть равен нулю, мы можем приравнять числитель и знаменатель:

$66(x+2) - 65x = x(x+2)$

Раскроем скобки:

$66x + 132 - 65x = x^2 + 2x$

Приведем подобные слагаемые:

$x + 132 = x^2 + 2x$

Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 + 2x - x - 132 = 0$

$x^2 + x - 132 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$, где $a=1, b=1, c=-132$:

$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-132) = 1 + 528 = 529$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + \sqrt{529}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 23}{2} = \frac{22}{2} = 11$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - \sqrt{529}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 23}{2} = \frac{-24}{2} = -12$

Поскольку x представляет собой производительность труда (количество деталей в день), это значение должно быть положительным. Следовательно, корень $x_2 = -12$ не подходит по смыслу задачи.

Таким образом, производительность второго рабочего составляет $x = 11$ деталей в день.

Производительность первого рабочего составляет $x + 2 = 11 + 2 = 13$ деталей в день.

Вопрос задачи — сколько деталей рабочие изготовили бы за день совместной работы. Для этого нужно сложить их производительности:

$11 + 13 = 24$

Ответ: за день совместной работы рабочие изготовили бы 24 детали.