Номер 1.61, страница 33 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.61. Двум рабочим было поручено изготовить партию некоторых деталей. После того как первый рабочий проработал 7 ч, а второй – 4 ч, стало известно, что выполнено $\frac{5}{9}$ всей работы. Через 4 ч совместной работы им оставалось выполнить $\frac{1}{18}$ всего объема. За сколько часов каждый рабочий в отдельности выполнил бы всю работу?

Для решения задачи введем переменные. Пусть $x$ — это время в часах, за которое первый рабочий может выполнить всю работу самостоятельно, а $y$ — время в часах, за которое второй рабочий может выполнить всю работу. Тогда производительность первого рабочего равна $\frac{1}{x}$ часть работы в час, а производительность второго рабочего — $\frac{1}{y}$ часть работы в час.

Согласно первому условию, когда первый рабочий проработал 7 часов, а второй — 4 часа, они вместе выполнили $\frac{5}{9}$ всей работы. Мы можем составить первое уравнение на основе этого условия:

$7 \cdot \frac{1}{x} + 4 \cdot \frac{1}{y} = \frac{5}{9}$

Далее в условии сказано, что после этого они проработали еще 4 часа вместе, и им осталось выполнить $\frac{1}{18}$ всей работы. Это значит, что общая доля выполненной работы за все время составила $1 - \frac{1}{18} = \frac{17}{18}$.

Общая выполненная работа состоит из двух частей: работы, выполненной вначале ($\frac{5}{9}$), и работы, выполненной за 4 часа совместного труда. Составим уравнение:

$\frac{5}{9} + 4 \cdot (\frac{1}{x} + \frac{1}{y}) = \frac{17}{18}$

Из этого уравнения можно найти, какую часть работы они выполнили за 4 часа совместной работы:

$4 \cdot (\frac{1}{x} + \frac{1}{y}) = \frac{17}{18} - \frac{5}{9}$

Приведем дроби к общему знаменателю:

$4 \cdot (\frac{1}{x} + \frac{1}{y}) = \frac{17}{18} - \frac{10}{18}$

$4 \cdot (\frac{1}{x} + \frac{1}{y}) = \frac{7}{18}$

Раскрыв скобки, получаем второе уравнение:

$\frac{4}{x} + \frac{4}{y} = \frac{7}{18}$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений относительно переменных $\frac{1}{x}$ и $\frac{1}{y}$:

$\begin{cases} \frac{7}{x} + \frac{4}{y} = \frac{5}{9} & (1) \\ \frac{4}{x} + \frac{4}{y} = \frac{7}{18} & (2) \end{cases}$

Для решения этой системы удобно вычесть второе уравнение из первого. Это позволит нам исключить переменную $y$.

$(\frac{7}{x} + \frac{4}{y}) - (\frac{4}{x} + \frac{4}{y}) = \frac{5}{9} - \frac{7}{18}$

$\frac{7}{x} - \frac{4}{x} = \frac{10}{18} - \frac{7}{18}$

$\frac{3}{x} = \frac{3}{18}$

Отсюда следует, что $\frac{1}{x} = \frac{1}{18}$, а значит $x = 18$.

Таким образом, первый рабочий может выполнить всю работу за 18 часов.

Теперь найдем $y$, подставив значение $\frac{1}{x} = \frac{1}{18}$ во второе уравнение системы:

$\frac{4}{18} + \frac{4}{y} = \frac{7}{18}$

Выразим $\frac{4}{y}$:

$\frac{4}{y} = \frac{7}{18} - \frac{4}{18}$

$\frac{4}{y} = \frac{3}{18}$

Упростим дробь в правой части: $\frac{3}{18} = \frac{1}{6}$.

$\frac{4}{y} = \frac{1}{6}$

Из этой пропорции находим $y$:

$y = 4 \cdot 6 = 24$.

Следовательно, второй рабочий может выполнить всю работу за 24 часа.

Ответ: первый рабочий выполнил бы всю работу за 18 часов, а второй – за 24 часа.