Номер 1.67, страница 37 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.67. Определите степени и количество переменных неравенств:

1) $4x^6-2x^7+x-1 < 0$;

2) $5y^2-y-2 > 0$;

3) $4xy+xy^2-5x^2+y \le 0$;

4) $8x^4y+5x^2y^2 \ge 11$;

5) $xy+xz+zy > 1$;

6) $xyz-x^2-y^2-z^2 > 2$;

7) $(x-y)z^2+(x+y)z \ge z^2$;

8) $(x^2+y^2-xy)^2 \le xy^2$;

9) $(z^2+x-y)^3 < x^2y^3z^4+1$.

Чтобы определить степень неравенства, необходимо привести его к виду $P(x_1, x_2, \dots, x_n) \vee 0$, где $P$ — многочлен, а $\vee$ — один из знаков $>, <, \geq, \leq$. Степенью неравенства называется степень многочлена $P$. Степень многочлена — это наибольшая из степеней входящих в него одночленов. Степень одночлена — это сумма показателей степеней всех входящих в него переменных. Количество переменных — это число различных букв, обозначающих переменные.

1) В неравенстве $4x^6-2x^7+x-1 < 0$ присутствует одна переменная: $x$. Степень неравенства определяется старшей степенью одночленов, входящих в него. Одночлены в левой части: $4x^6$ (степень 6), $-2x^7$ (степень 7), $x$ (степень 1) и $-1$ (степень 0). Наибольшая степень равна 7.
Ответ: Степень 7, одна переменная ($x$).

2) В неравенстве $5y^2-y-2 > 0$ присутствует одна переменная: $y$. Одночлены в левой части: $5y^2$ (степень 2), $-y$ (степень 1) и $-2$ (степень 0). Наибольшая степень равна 2.
Ответ: Степень 2, одна переменная ($y$).

3) В неравенстве $4xy+xy^2-5x^2+y \leq 0$ присутствуют две переменные: $x$ и $y$. Определим степени одночленов:
степень $4xy$ ($4x^1y^1$) равна $1+1=2$;
степень $xy^2$ ($x^1y^2$) равна $1+2=3$;
степень $-5x^2$ равна 2;
степень $y$ ($y^1$) равна 1.
Наибольшая из этих степеней равна 3.
Ответ: Степень 3, две переменные ($x, y$).

4) Приведем неравенство к стандартному виду: $8x^4y+5x^2y^2-11 \geq 0$. В неравенстве присутствуют две переменные: $x$ и $y$. Определим степени одночленов:
степень $8x^4y$ ($8x^4y^1$) равна $4+1=5$;
степень $5x^2y^2$ равна $2+2=4$;
степень $-11$ равна 0.
Наибольшая степень равна 5.
Ответ: Степень 5, две переменные ($x, y$).

5) Приведем неравенство к стандартному виду: $xy+xz+zy-1 > 0$. В неравенстве присутствуют три переменные: $x$, $y$ и $z$. Определим степени одночленов:
степень $xy$ ($x^1y^1$) равна $1+1=2$;
степень $xz$ ($x^1z^1$) равна $1+1=2$;
степень $zy$ ($z^1y^1$) равна $1+1=2$;
степень $-1$ равна 0.
Наибольшая степень равна 2.
Ответ: Степень 2, три переменные ($x, y, z$).

6) Приведем неравенство к стандартному виду: $xyz-x^2-y^2-z^2-2 > 0$. В неравенстве присутствуют три переменные: $x$, $y$ и $z$. Определим степени одночленов:
степень $xyz$ ($x^1y^1z^1$) равна $1+1+1=3$;
степень $-x^2$ равна 2;
степень $-y^2$ равна 2;
степень $-z^2$ равна 2;
степень $-2$ равна 0.
Наибольшая степень равна 3.
Ответ: Степень 3, три переменные ($x, y, z$).

7) Раскроем скобки и приведем неравенство к стандартному виду: $(x-y)z^2+(x+y)z-z^2 \geq 0$, что равносильно $xz^2-yz^2+xz+yz-z^2 \geq 0$. В неравенстве присутствуют три переменные: $x$, $y$ и $z$. Определим степени одночленов:
степень $xz^2$ ($x^1z^2$) равна $1+2=3$;
степень $-yz^2$ ($-y^1z^2$) равна $1+2=3$;
степень $xz$ ($x^1z^1$) равна $1+1=2$;
степень $yz$ ($y^1z^1$) равна $1+1=2$;
степень $-z^2$ равна 2.
Наибольшая степень равна 3.
Ответ: Степень 3, три переменные ($x, y, z$).

8) Преобразуем неравенство, раскрыв скобки в левой части: $(x^2+y^2-xy)^2 - xy^2 \leq 0$. В неравенстве две переменные: $x$ и $y$. Для определения степени найдем старший член многочлена. При возведении в квадрат выражения $(x^2+y^2-xy)$, старшие члены будут иметь степень $2 \times 2 = 4$. Например, $(x^2)^2=x^4$, $2(x^2)(-xy)=-2x^3y$. Раскрытие скобок дает: $x^4+y^4+x^2y^2+2x^2y^2-2x^3y-2xy^3-xy^2 \leq 0$, или $x^4-2x^3y+3x^2y^2-2xy^3+y^4-xy^2 \leq 0$. Наибольшая степень одночленов ($x^4$, $-2x^3y$, $3x^2y^2$, $-2xy^3$, $y^4$) равна 4. Степень одночлена $-xy^2$ равна 3. Следовательно, степень всего неравенства равна 4.
Ответ: Степень 4, две переменные ($x, y$).

9) Приведем неравенство к стандартному виду: $(z^2+x-y)^3 - x^2y^3z^4-1 < 0$. В неравенстве три переменные: $x$, $y$ и $z$. Найдем наибольшую степень одночленов. Степень многочлена $(z^2+x-y)^3$ определяется старшим членом в его разложении. Старший член в скобках — $z^2$ (степень 2). При возведении в куб он даст $(z^2)^3=z^6$, степень которого равна 6. Степень одночлена $-x^2y^3z^4$ равна $2+3+4=9$. Степень $-1$ равна 0. Сравнивая степени 6, 9 и 0, находим, что наибольшая степень равна 9.
Ответ: Степень 9, три переменные ($x, y, z$).