Номер 1.63, страница 33 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.63. В сплаве алюминия и магния содержится 22 кг алюминия. Этот сплав переплавили, добавив к нему 15 кг магния. В новом сплаве доля магния выросла на 45%. Какова масса первоначального сплава?

Пусть $M_1$ — первоначальная масса сплава в кг.

В первоначальном сплаве содержалось 22 кг алюминия, следовательно, масса магния в нем была:
$m_{Mg,1} = M_1 - 22$ кг.

Доля (массовая доля) магния в первоначальном сплаве составляла:
$C_1 = \frac{m_{Mg,1}}{M_1} = \frac{M_1 - 22}{M_1}$

После добавления 15 кг магния масса нового сплава стала:
$M_2 = M_1 + 15$ кг.

Масса магния в новом сплаве стала:
$m_{Mg,2} = m_{Mg,1} + 15 = (M_1 - 22) + 15 = M_1 - 7$ кг.

Доля магния в новом сплаве составляет:
$C_2 = \frac{m_{Mg,2}}{M_2} = \frac{M_1 - 7}{M_1 + 15}$

По условию задачи, доля магния в новом сплаве выросла на 45%. Это означает, что новая доля стала в 1,45 раза больше старой:
$C_2 = C_1 \times (1 + 0.45) = 1.45 \times C_1$

Подставим выражения для $C_1$ и $C_2$ в это уравнение:
$\frac{M_1 - 7}{M_1 + 15} = 1.45 \times \frac{M_1 - 22}{M_1}$

Теперь решим это уравнение относительно $M_1$. Умножим обе части на $M_1 \times (M_1 + 15)$, чтобы избавиться от знаменателей (при условии, что $M_1 \neq 0$ и $M_1 \neq -15$, что очевидно для массы):
$M_1(M_1 - 7) = 1.45(M_1 - 22)(M_1 + 15)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:
$M_1^2 - 7M_1 = 1.45(M_1^2 + 15M_1 - 22M_1 - 330)$
$M_1^2 - 7M_1 = 1.45(M_1^2 - 7M_1 - 330)$
$M_1^2 - 7M_1 = 1.45M_1^2 - 1.45 \times 7M_1 - 1.45 \times 330$
$M_1^2 - 7M_1 = 1.45M_1^2 - 10.15M_1 - 478.5$

Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить квадратное уравнение:
$0 = (1.45 - 1)M_1^2 + (-10.15 + 7)M_1 - 478.5$
$0 = 0.45M_1^2 - 3.15M_1 - 478.5$

Для удобства умножим все уравнение на 100, чтобы избавиться от десятичных дробей:
$45M_1^2 - 315M_1 - 47850 = 0$

Разделим все коэффициенты на 15:
$3M_1^2 - 21M_1 - 3190 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью формулы корней: $M_1 = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
где $a=3$, $b=-21$, $c=-3190$.
Найдем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-21)^2 - 4(3)(-3190) = 441 + 12(3190) = 441 + 38280 = 38721$

Найдем корни уравнения:
$M_1 = \frac{-(-21) \pm \sqrt{38721}}{2 \times 3} = \frac{21 \pm \sqrt{38721}}{6}$

Поскольку масса сплава не может быть отрицательной, мы выбираем корень со знаком плюс:
$M_1 = \frac{21 + \sqrt{38721}}{6}$

Приближенное значение: $\sqrt{38721} \approx 196.78$.
$M_1 \approx \frac{21 + 196.78}{6} \approx \frac{217.78}{6} \approx 36.3$ кг.

Оставим точный ответ, так как корень из дискриминанта не является целым числом.

Ответ: Первоначальная масса сплава равна $\frac{21 + \sqrt{38721}}{6}$ кг.