Страница 33 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.58. Расстояние между станциями А и В равно 120 км. Вслед за поездом, вышедшим из А в В, через 3 ч в этом же направлении отправился второй поезд, скорость которого на 10 км/ч больше скорости первого поезда. Известно, что первый поезд прибыл на станцию В на 2 ч раньше, чем второй. За сколько часов пройдет путь от А до В второй поезд?

Пусть $v_1$ (в км/ч) — скорость первого поезда, а $v_2$ (в км/ч) — скорость второго поезда. Пусть $t_1$ (в часах) и $t_2$ (в часах) — их время в пути соответственно. Расстояние между станциями A и B равно $S = 120$ км.

Согласно условию задачи, скорость второго поезда на 10 км/ч больше скорости первого:$v_2 = v_1 + 10$

Время в пути для каждого поезда можно выразить через расстояние и скорость по формуле $t = S/v$:$t_1 = \frac{120}{v_1}$$t_2 = \frac{120}{v_2} = \frac{120}{v_1 + 10}$

Определим связь между временем в пути поездов. Второй поезд отправился на 3 часа позже первого, а первый поезд прибыл на станцию B на 2 часа раньше второго.Если принять за 0 момент отправления первого поезда, то его время прибытия будет $T_{приб1} = t_1$.Второй поезд отправился в момент времени 3 часа, поэтому его время прибытия будет $T_{приб2} = 3 + t_2$.Поскольку первый поезд прибыл на 2 часа раньше, то $T_{приб1} = T_{приб2} - 2$.Подставим выражения для времени прибытия:$t_1 = (3 + t_2) - 2$$t_1 = t_2 + 1$Это означает, что первый поезд был в пути на 1 час дольше, чем второй.

Теперь составим уравнение, подставив выражения для $t_1$ и $t_2$ через скорость $v_1$:$\frac{120}{v_1} = \frac{120}{v_1 + 10} + 1$$\frac{120}{v_1} - \frac{120}{v_1 + 10} = 1$

Для решения уравнения приведем дроби в левой части к общему знаменателю $v_1(v_1 + 10)$:$\frac{120(v_1 + 10) - 120v_1}{v_1(v_1 + 10)} = 1$

Умножим обе части уравнения на знаменатель, при условии что $v_1 \neq 0$ и $v_1 \neq -10$, что выполняется, так как скорость является положительной величиной:$120(v_1 + 10) - 120v_1 = v_1(v_1 + 10)$$120v_1 + 1200 - 120v_1 = v_1^2 + 10v_1$$1200 = v_1^2 + 10v_1$

Мы получили квадратное уравнение:$v_1^2 + 10v_1 - 1200 = 0$

Решим его с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:$D = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1200) = 100 + 4800 = 4900 = 70^2$Найдем корни уравнения:$v_{1,1} = \frac{-10 - 70}{2} = \frac{-80}{2} = -40$$v_{1,2} = \frac{-10 + 70}{2} = \frac{60}{2} = 30$

Так как скорость не может быть отрицательной, единственное подходящее решение — $v_1 = 30$ км/ч.Теперь найдем скорость второго поезда:$v_2 = v_1 + 10 = 30 + 10 = 40$ км/ч.

Вопрос задачи состоит в том, чтобы найти, за сколько часов пройдет путь от А до В второй поезд. Вычислим время $t_2$:$t_2 = \frac{S}{v_2} = \frac{120 \text{ км}}{40 \text{ км/ч}} = 3$ часа.

Ответ: 3 часа.

1.59. Двое рабочих изготовили 131 одинаковую деталь. Из них 65 деталей изготовил первый рабочий, причем на это ему потребовалось затратить на один день меньше, чем второму. В день первый рабочий изготавливает на 2 детали больше, чем второй. Сколько деталей изготовили рабочие за день совместной работы?

Пусть x — количество деталей, которое второй рабочий изготавливает за один день (его производительность). Тогда производительность первого рабочего составляет x + 2 детали в день, так как он изготавливает на 2 детали больше.

Известно, что первый рабочий изготовил 65 деталей. Время, которое он на это затратил, равно $t_1 = \frac{65}{x+2}$ дней.

Второй рабочий изготовил $131 - 65 = 66$ деталей. Время, которое он на это затратил, составляет $t_2 = \frac{66}{x}$ дней.

По условию задачи, первый рабочий потратил на свою работу на один день меньше, чем второй. На основе этого можно составить уравнение:

$t_2 - t_1 = 1$

Подставим выражения для $t_1$ и $t_2$:

$\frac{66}{x} - \frac{65}{x+2} = 1$

Для решения уравнения приведем дроби к общему знаменателю $x(x+2)$. Заметим, что $x > 0$, так как это количество деталей.

$\frac{66(x+2) - 65x}{x(x+2)} = 1$

Поскольку знаменатель не может быть равен нулю, мы можем приравнять числитель и знаменатель:

$66(x+2) - 65x = x(x+2)$

Раскроем скобки:

$66x + 132 - 65x = x^2 + 2x$

Приведем подобные слагаемые:

$x + 132 = x^2 + 2x$

Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 + 2x - x - 132 = 0$

$x^2 + x - 132 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$, где $a=1, b=1, c=-132$:

$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-132) = 1 + 528 = 529$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + \sqrt{529}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 23}{2} = \frac{22}{2} = 11$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - \sqrt{529}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 23}{2} = \frac{-24}{2} = -12$

Поскольку x представляет собой производительность труда (количество деталей в день), это значение должно быть положительным. Следовательно, корень $x_2 = -12$ не подходит по смыслу задачи.

Таким образом, производительность второго рабочего составляет $x = 11$ деталей в день.

Производительность первого рабочего составляет $x + 2 = 11 + 2 = 13$ деталей в день.

Вопрос задачи — сколько деталей рабочие изготовили бы за день совместной работы. Для этого нужно сложить их производительности:

$11 + 13 = 24$

Ответ: за день совместной работы рабочие изготовили бы 24 детали.

1.60. Две бригады должны были собрать весь урожай за 12 дней. Однако после 8 дней совместной работы первая бригада была переведена на другую работу, и оставшую-ся часть работы вторая бригада завершила за 7 дней. За сколько дней каждая бригада в отдельности собрала бы весь урожай?

Примем весь объем работы по сбору урожая за 1.

Пусть первая бригада может выполнить всю работу самостоятельно за $x$ дней, а вторая бригада — за $y$ дней.

Тогда производительность (часть работы, выполняемая за один день) первой бригады равна $\frac{1}{x}$, а производительность второй бригады — $\frac{1}{y}$.

Согласно условию, работая вместе, две бригады должны были собрать весь урожай за 12 дней. Их совместная производительность составляет $\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$. Можем составить первое уравнение: $12 \cdot (\frac{1}{x} + \frac{1}{y}) = 1$ Отсюда следует: $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{12}$

Две бригады проработали вместе 8 дней. За это время они выполнили часть работы, равную $8 \cdot (\frac{1}{x} + \frac{1}{y})$. Подставив значение из первого уравнения, получаем: $8 \cdot \frac{1}{12} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$

Таким образом, за 8 дней совместной работы было выполнено $\frac{2}{3}$ всего урожая. Оставшаяся часть работы составляет: $1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$

Эту оставшуюся часть ($\frac{1}{3}$ всей работы) вторая бригада, работая в одиночку, завершила за 7 дней. Это позволяет нам составить второе уравнение: $7 \cdot \frac{1}{y} = \frac{1}{3}$

Из этого уравнения найдем $y$: $\frac{7}{y} = \frac{1}{3}$ $y = 7 \cdot 3 = 21$ Следовательно, вторая бригада может собрать весь урожай самостоятельно за 21 день.

Теперь подставим найденное значение $y=21$ в первое уравнение, чтобы найти $x$: $\frac{1}{x} + \frac{1}{21} = \frac{1}{12}$

Выразим $\frac{1}{x}$: $\frac{1}{x} = \frac{1}{12} - \frac{1}{21}$

Приведем дроби в правой части к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для 12 и 21 равно 84. $\frac{1}{x} = \frac{7 \cdot 1}{12 \cdot 7} - \frac{4 \cdot 1}{21 \cdot 4}$ $\frac{1}{x} = \frac{7}{84} - \frac{4}{84}$ $\frac{1}{x} = \frac{3}{84}$

Сократим дробь: $\frac{1}{x} = \frac{1}{28}$ Отсюда $x = 28$. Следовательно, первая бригада может собрать весь урожай самостоятельно за 28 дней.

Ответ: первая бригада собрала бы весь урожай за 28 дней, вторая бригада — за 21 день.

1.61. Двум рабочим было поручено изготовить партию некоторых деталей. После того как первый рабочий проработал 7 ч, а второй – 4 ч, стало известно, что выполнено $\frac{5}{9}$ всей работы. Через 4 ч совместной работы им оставалось выполнить $\frac{1}{18}$ всего объема. За сколько часов каждый рабочий в отдельности выполнил бы всю работу?

Для решения задачи введем переменные. Пусть $x$ — это время в часах, за которое первый рабочий может выполнить всю работу самостоятельно, а $y$ — время в часах, за которое второй рабочий может выполнить всю работу. Тогда производительность первого рабочего равна $\frac{1}{x}$ часть работы в час, а производительность второго рабочего — $\frac{1}{y}$ часть работы в час.

Согласно первому условию, когда первый рабочий проработал 7 часов, а второй — 4 часа, они вместе выполнили $\frac{5}{9}$ всей работы. Мы можем составить первое уравнение на основе этого условия:

$7 \cdot \frac{1}{x} + 4 \cdot \frac{1}{y} = \frac{5}{9}$

Далее в условии сказано, что после этого они проработали еще 4 часа вместе, и им осталось выполнить $\frac{1}{18}$ всей работы. Это значит, что общая доля выполненной работы за все время составила $1 - \frac{1}{18} = \frac{17}{18}$.

Общая выполненная работа состоит из двух частей: работы, выполненной вначале ($\frac{5}{9}$), и работы, выполненной за 4 часа совместного труда. Составим уравнение:

$\frac{5}{9} + 4 \cdot (\frac{1}{x} + \frac{1}{y}) = \frac{17}{18}$

Из этого уравнения можно найти, какую часть работы они выполнили за 4 часа совместной работы:

$4 \cdot (\frac{1}{x} + \frac{1}{y}) = \frac{17}{18} - \frac{5}{9}$

Приведем дроби к общему знаменателю:

$4 \cdot (\frac{1}{x} + \frac{1}{y}) = \frac{17}{18} - \frac{10}{18}$

$4 \cdot (\frac{1}{x} + \frac{1}{y}) = \frac{7}{18}$

Раскрыв скобки, получаем второе уравнение:

$\frac{4}{x} + \frac{4}{y} = \frac{7}{18}$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений относительно переменных $\frac{1}{x}$ и $\frac{1}{y}$:

$\begin{cases} \frac{7}{x} + \frac{4}{y} = \frac{5}{9} & (1) \\ \frac{4}{x} + \frac{4}{y} = \frac{7}{18} & (2) \end{cases}$

Для решения этой системы удобно вычесть второе уравнение из первого. Это позволит нам исключить переменную $y$.

$(\frac{7}{x} + \frac{4}{y}) - (\frac{4}{x} + \frac{4}{y}) = \frac{5}{9} - \frac{7}{18}$

$\frac{7}{x} - \frac{4}{x} = \frac{10}{18} - \frac{7}{18}$

$\frac{3}{x} = \frac{3}{18}$

Отсюда следует, что $\frac{1}{x} = \frac{1}{18}$, а значит $x = 18$.

Таким образом, первый рабочий может выполнить всю работу за 18 часов.

Теперь найдем $y$, подставив значение $\frac{1}{x} = \frac{1}{18}$ во второе уравнение системы:

$\frac{4}{18} + \frac{4}{y} = \frac{7}{18}$

Выразим $\frac{4}{y}$:

$\frac{4}{y} = \frac{7}{18} - \frac{4}{18}$

$\frac{4}{y} = \frac{3}{18}$

Упростим дробь в правой части: $\frac{3}{18} = \frac{1}{6}$.

$\frac{4}{y} = \frac{1}{6}$

Из этой пропорции находим $y$:

$y = 4 \cdot 6 = 24$.

Следовательно, второй рабочий может выполнить всю работу за 24 часа.

Ответ: первый рабочий выполнил бы всю работу за 18 часов, а второй – за 24 часа.

1.62. С первого земельного участка было собрано 2880 ц урожая, а со второго участка, площадь которого меньше на 12 га, – 2160 ц. Известно, что с каждого гектара первого участка было собрано на 4 ц больше, чем с каждого гектара второго участка. Найдите площадь каждого участка.

Пусть $x$ га — площадь первого земельного участка.
Поскольку площадь второго участка на 12 га меньше, то его площадь составляет $(x - 12)$ га.
Урожайность — это количество урожая, собранного с единицы площади.
Урожайность первого участка равна $\frac{2880}{x}$ ц/га.
Урожайность второго участка равна $\frac{2160}{x - 12}$ ц/га.
Из условия известно, что с каждого гектара первого участка было собрано на 4 ц больше, чем с каждого гектара второго. Составим уравнение на основе этого условия:
$\frac{2880}{x} - \frac{2160}{x - 12} = 4$
Область допустимых значений для $x$: площадь не может быть отрицательной или равной нулю, поэтому $x > 0$ и $x - 12 > 0$, откуда $x > 12$.
Для решения уравнения разделим обе его части на 4, чтобы упростить вычисления:
$\frac{720}{x} - \frac{540}{x - 12} = 1$
Приведем дроби к общему знаменателю $x(x - 12)$:
$\frac{720(x - 12) - 540x}{x(x - 12)} = 1$
Умножим обе части на знаменатель $x(x - 12)$, так как мы уже установили, что он не равен нулю ($x > 12$):
$720(x - 12) - 540x = x(x - 12)$
Раскроем скобки:
$720x - 8640 - 540x = x^2 - 12x$
Приведем подобные слагаемые:
$180x - 8640 = x^2 - 12x$
Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$:
$x^2 - 12x - 180x + 8640 = 0$
$x^2 - 192x + 8640 = 0$
Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-192)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8640 = 36864 - 34560 = 2304$
Найдем корни уравнения: $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$
$\sqrt{D} = \sqrt{2304} = 48$
$x_1 = \frac{192 + 48}{2} = \frac{240}{2} = 120$
$x_2 = \frac{192 - 48}{2} = \frac{144}{2} = 72$
Оба корня ($120$ и $72$) больше 12, следовательно, оба являются возможными решениями задачи. Рассмотрим оба случая.

Случай 1:
Площадь первого участка $x_1 = 120$ га.
Тогда площадь второго участка: $120 - 12 = 108$ га.
Проверим урожайность:
Урожайность первого участка: $\frac{2880}{120} = 24$ ц/га.
Урожайность второго участка: $\frac{2160}{108} = 20$ ц/га.
Разница в урожайности: $24 - 20 = 4$ ц/га. Это соответствует условию задачи.

Случай 2:
Площадь первого участка $x_2 = 72$ га.
Тогда площадь второго участка: $72 - 12 = 60$ га.
Проверим урожайность:
Урожайность первого участка: $\frac{2880}{72} = 40$ ц/га.
Урожайность второго участка: $\frac{2160}{60} = 36$ ц/га.
Разница в урожайности: $40 - 36 = 4$ ц/га. Это также соответствует условию задачи.

Таким образом, задача имеет два возможных решения.

Ответ: площадь первого участка 120 га, второго — 108 га; или площадь первого участка 72 га, второго — 60 га.

1.63. В сплаве алюминия и магния содержится 22 кг алюминия. Этот сплав переплавили, добавив к нему 15 кг магния. В новом сплаве доля магния выросла на 45%. Какова масса первоначального сплава?

Пусть $M_1$ — первоначальная масса сплава в кг.

В первоначальном сплаве содержалось 22 кг алюминия, следовательно, масса магния в нем была:
$m_{Mg,1} = M_1 - 22$ кг.

Доля (массовая доля) магния в первоначальном сплаве составляла:
$C_1 = \frac{m_{Mg,1}}{M_1} = \frac{M_1 - 22}{M_1}$

После добавления 15 кг магния масса нового сплава стала:
$M_2 = M_1 + 15$ кг.

Масса магния в новом сплаве стала:
$m_{Mg,2} = m_{Mg,1} + 15 = (M_1 - 22) + 15 = M_1 - 7$ кг.

Доля магния в новом сплаве составляет:
$C_2 = \frac{m_{Mg,2}}{M_2} = \frac{M_1 - 7}{M_1 + 15}$

По условию задачи, доля магния в новом сплаве выросла на 45%. Это означает, что новая доля стала в 1,45 раза больше старой:
$C_2 = C_1 \times (1 + 0.45) = 1.45 \times C_1$

Подставим выражения для $C_1$ и $C_2$ в это уравнение:
$\frac{M_1 - 7}{M_1 + 15} = 1.45 \times \frac{M_1 - 22}{M_1}$

Теперь решим это уравнение относительно $M_1$. Умножим обе части на $M_1 \times (M_1 + 15)$, чтобы избавиться от знаменателей (при условии, что $M_1 \neq 0$ и $M_1 \neq -15$, что очевидно для массы):
$M_1(M_1 - 7) = 1.45(M_1 - 22)(M_1 + 15)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:
$M_1^2 - 7M_1 = 1.45(M_1^2 + 15M_1 - 22M_1 - 330)$
$M_1^2 - 7M_1 = 1.45(M_1^2 - 7M_1 - 330)$
$M_1^2 - 7M_1 = 1.45M_1^2 - 1.45 \times 7M_1 - 1.45 \times 330$
$M_1^2 - 7M_1 = 1.45M_1^2 - 10.15M_1 - 478.5$

Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить квадратное уравнение:
$0 = (1.45 - 1)M_1^2 + (-10.15 + 7)M_1 - 478.5$
$0 = 0.45M_1^2 - 3.15M_1 - 478.5$

Для удобства умножим все уравнение на 100, чтобы избавиться от десятичных дробей:
$45M_1^2 - 315M_1 - 47850 = 0$

Разделим все коэффициенты на 15:
$3M_1^2 - 21M_1 - 3190 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью формулы корней: $M_1 = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
где $a=3$, $b=-21$, $c=-3190$.
Найдем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-21)^2 - 4(3)(-3190) = 441 + 12(3190) = 441 + 38280 = 38721$

Найдем корни уравнения:
$M_1 = \frac{-(-21) \pm \sqrt{38721}}{2 \times 3} = \frac{21 \pm \sqrt{38721}}{6}$

Поскольку масса сплава не может быть отрицательной, мы выбираем корень со знаком плюс:
$M_1 = \frac{21 + \sqrt{38721}}{6}$

Приближенное значение: $\sqrt{38721} \approx 196.78$.
$M_1 \approx \frac{21 + 196.78}{6} \approx \frac{217.78}{6} \approx 36.3$ кг.

Оставим точный ответ, так как корень из дискриминанта не является целым числом.

Ответ: Первоначальная масса сплава равна $\frac{21 + \sqrt{38721}}{6}$ кг.