Страница 34 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.64. Два тела движутся по окружности в одном направлении. Одно из них совершает полный оборот на 2 с раньше другого. Известно, что они встречаются через каждые 60 с. Какую часть окружности преодолевает каждое тело за 1 с?

Обозначим периоды обращения двух тел как $T_1$ и $T_2$. Период обращения — это время, за которое тело совершает один полный оборот. Пусть тело 1 — то, которое движется быстрее, тогда его период обращения меньше, чем у тела 2 ($T_1 < T_2$).

Согласно условию задачи, одно из тел совершает полный оборот на 2 секунды раньше другого. Это означает, что разница их периодов составляет 2 секунды. Так как мы приняли, что тело 1 быстрее:$T_2 - T_1 = 2 \text{ с}$, или $T_2 = T_1 + 2$.

Также известно, что тела встречаются каждые $t_{встр} = 60$ с. Поскольку тела движутся в одном направлении, встреча происходит, когда более быстрое тело "догоняет" более медленное, то есть проходит на один полный круг больше, чем второе тело, за то же время.

Часть окружности, которую тело преодолевает за 1 секунду, равна его частоте обращения $n = 1/T$. За время $t_{встр}$ первое тело совершит $N_1 = n_1 \cdot t_{встр} = \frac{t_{встр}}{T_1}$ оборотов, а второе — $N_2 = n_2 \cdot t_{встр} = \frac{t_{встр}}{T_2}$ оборотов. Условие встречи означает, что разница в количестве совершенных оборотов равна целому числу. Для времени между последовательными встречами эта разница равна 1:$N_1 - N_2 = 1$$\frac{t_{встр}}{T_1} - \frac{t_{встр}}{T_2} = 1$

Подставим известное значение $t_{встр} = 60$ с:$\frac{60}{T_1} - \frac{60}{T_2} = 1$

Таким образом, мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными:
1) $T_2 = T_1 + 2$
2) $\frac{60}{T_1} - \frac{60}{T_2} = 1$

Подставим выражение для $T_2$ из первого уравнения во второе:$\frac{60}{T_1} - \frac{60}{T_1 + 2} = 1$

Приведем левую часть к общему знаменателю:$60 \left( \frac{1}{T_1} - \frac{1}{T_1 + 2} \right) = 1$$60 \left( \frac{T_1 + 2 - T_1}{T_1(T_1 + 2)} \right) = 1$$60 \left( \frac{2}{T_1^2 + 2T_1} \right) = 1$$\frac{120}{T_1^2 + 2T_1} = 1$

Отсюда получаем квадратное уравнение:$T_1^2 + 2T_1 = 120$$T_1^2 + 2T_1 - 120 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.$D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-120) = 4 + 480 = 484 = 22^2$Корни уравнения:$T_1 = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm 22}{2}$

Получаем два возможных значения для $T_1$:$T_{1,1} = \frac{-2 + 22}{2} = \frac{20}{2} = 10$ с$T_{1,2} = \frac{-2 - 22}{2} = \frac{-24}{2} = -12$ с

Поскольку время (период) не может быть отрицательной величиной, единственное физически осмысленное решение — это $T_1 = 10$ с.Теперь найдем период второго тела:$T_2 = T_1 + 2 = 10 + 2 = 12$ с.

Вопрос задачи: какую часть окружности преодолевает каждое тело за 1 секунду? Эта величина равна $n = 1/T$.Для первого (быстрого) тела: $n_1 = \frac{1}{T_1} = \frac{1}{10}$.Для второго (медленного) тела: $n_2 = \frac{1}{T_2} = \frac{1}{12}$.

Ответ: Первое тело за 1 секунду преодолевает $\frac{1}{10}$ часть окружности, а второе — $\frac{1}{12}$ часть окружности.

1.65. Решите систему уравнений:

1) $\begin{cases} 2x - 3y = 5; \\ 3x + y = 2; \end{cases}$

2) $\begin{cases} x - 2y = 0, \\ x + 3y = 5. \end{cases}$

1) Дана система уравнений:
$ \begin{cases} 2x - 3y = 5, \\ 3x + y = 2; \end{cases} $
Для решения системы используем метод подстановки. Из второго уравнения выразим переменную y:
$y = 2 - 3x$
Теперь подставим это выражение в первое уравнение системы:
$2x - 3(2 - 3x) = 5$
Раскроем скобки и решим полученное уравнение относительно x:
$2x - 6 + 9x = 5$
$11x = 5 + 6$
$11x = 11$
$x = 1$
Найдем соответствующее значение y, подставив $x = 1$ в выражение для y:
$y = 2 - 3 \cdot 1$
$y = 2 - 3$
$y = -1$
Проверка:
$2(1) - 3(-1) = 2 + 3 = 5$
$3(1) + (-1) = 3 - 1 = 2$
Оба равенства верны.
Ответ: $(1; -1)$

2) Дана система уравнений:
$ \begin{cases} x - 2y = 0, \\ x + 3y = 5. \end{cases} $
Для решения системы используем метод подстановки. Из первого уравнения выразим переменную x:
$x = 2y$
Подставим это выражение во второе уравнение системы:
$(2y) + 3y = 5$
Решим полученное уравнение относительно y:
$5y = 5$
$y = 1$
Найдем соответствующее значение x, подставив $y = 1$ в выражение для x:
$x = 2 \cdot 1$
$x = 2$
Проверка:
$2 - 2(1) = 2 - 2 = 0$
$2 + 3(1) = 2 + 3 = 5$
Оба равенства верны.
Ответ: $(2; 1)$

1.66. Решите неравенства:

1) $|x-2|<3;

2) $x^2-5x+60\ge0$.

1) Для решения неравенства $|x-2| < 3$ воспользуемся свойством модуля: неравенство вида $|A| < B$ (при $B>0$) равносильно двойному неравенству $-B < A < B$.
В нашем случае $A = x-2$ и $B = 3$, поэтому получаем:
$-3 < x-2 < 3$
Чтобы найти $x$, прибавим 2 ко всем частям неравенства:
$-3 + 2 < x-2+2 < 3+2$
$-1 < x < 5$
Таким образом, решение неравенства представляет собой интервал от -1 до 5.
Ответ: $x \in (-1; 5)$.

2) Решим квадратное неравенство $x^2 - 5x + 6 \ge 0$.
Сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 5x + 6 = 0$.
По теореме Виета, сумма корней $x_1+x_2=5$, а их произведение $x_1 \cdot x_2=6$. Отсюда корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = 3$.
Теперь можем разложить левую часть неравенства на множители: $(x-2)(x-3) \ge 0$.
Решим это неравенство методом интервалов. Нанесем корни $x=2$ и $x=3$ на числовую ось. Точки закрашиваем, так как неравенство нестрогое. Эти точки разбивают ось на три интервала: $(-\infty; 2)$, $(2; 3)$ и $(3; +\infty)$.

Определим знак выражения $(x-2)(x-3)$ в каждом интервале:
- на интервале $(-\infty; 2)$: возьмем $x=0$, получим $(0-2)(0-3)=6 > 0$. Знак "+".
- на интервале $(2; 3)$: возьмем $x=2.5$, получим $(2.5-2)(2.5-3)=(0.5)(-0.5)=-0.25 < 0$. Знак "-".
- на интервале $(3; +\infty)$: возьмем $x=4$, получим $(4-2)(4-3)=2 > 0$. Знак "+".
Нам нужны значения $x$, при которых выражение больше или равно нулю. Это соответствует промежуткам со знаком "+" и самим корням $x=2$ и $x=3$.
Объединяя эти промежутки, получаем решение.
Ответ: $x \in (-\infty; 2] \cup [3; +\infty)$.