Страница 32 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.53. На турбазе 83 туриста были размещены в 25 домиках и палатках. В каждом домике разместились по 5 туристов, а в каждой палатке – по 2 туриста. Сколько домиков и палаток на турбазе?

Для решения задачи введем переменные. Пусть $x$ — количество домиков, а $y$ — количество палаток на турбазе.

Согласно условию, общее число домиков и палаток составляет 25. На основе этого мы можем составить первое уравнение:

$x + y = 25$

Также в условии сказано, что всего на турбазе 83 туриста. В каждом домике живет по 5 туристов, а в каждой палатке — по 2. Это позволяет нам составить второе уравнение, которое отражает общее количество туристов:

$5x + 2y = 83$

Таким образом, мы получили систему из двух линейных уравнений с двумя переменными:

$\begin{cases} x + y = 25 \\ 5x + 2y = 83 \end{cases}$

Для решения этой системы воспользуемся методом подстановки. Выразим переменную $y$ из первого уравнения:

$y = 25 - x$

Теперь подставим полученное выражение для $y$ во второе уравнение системы:

$5x + 2(25 - x) = 83$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $x$:

$5x + 50 - 2x = 83$

Приведем подобные слагаемые:

$3x + 50 = 83$

Перенесем 50 в правую часть уравнения:

$3x = 83 - 50$

$3x = 33$

Найдем $x$:

$x = \frac{33}{3}$

$x = 11$

Итак, на турбазе 11 домиков.

Теперь, зная количество домиков, найдем количество палаток, подставив значение $x$ в выражение $y = 25 - x$:

$y = 25 - 11$

$y = 14$

Следовательно, на турбазе 14 палаток.

Выполним проверку:
Общее количество домиков и палаток: $11 + 14 = 25$, что соответствует условию.
Общее количество туристов: $11 \times 5 + 14 \times 2 = 55 + 28 = 83$, что также соответствует условию.

Ответ: на турбазе 11 домиков и 14 палаток.

1.54. Из двух населенных пунктов одновременно навстречу друг другу выехали два велосипедиста. Они встретились через 3 ч. В час один из велосипедистов проходит на 2 км больше другого. Какова скорость каждого велосипедиста, если расстояние между населенными пунктами равно 66 км?

Для решения задачи введем переменные. Пусть $v_1$ – скорость первого велосипедиста в км/ч, а $v_2$ – скорость второго велосипедиста в км/ч. Общее расстояние между населенными пунктами составляет $S = 66 \text{ км}$. Время, через которое они встретились, равно $t = 3 \text{ ч}$.

Согласно условию, скорость одного велосипедиста на 2 км/ч больше скорости другого. Допустим, что скорость первого велосипедиста больше. Это можно записать в виде уравнения:
$v_1 = v_2 + 2$

Поскольку велосипедисты движутся навстречу друг другу, их скорость сближения, $v_{сбл}$, равна сумме их индивидуальных скоростей:

$v_{сбл} = v_1 + v_2$

Общее расстояние, которое они проехали вместе до встречи, равно начальному расстоянию между пунктами. Используя формулу расстояния $S = v \cdot t$, мы можем записать уравнение для их совместного движения:

$S = v_{сбл} \cdot t$

$66 = (v_1 + v_2) \cdot 3$

Из этого уравнения найдем скорость сближения (сумму скоростей велосипедистов):

$v_1 + v_2 = \frac{66}{3}$

$v_1 + v_2 = 22 \text{ км/ч}$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя неизвестными:
1) $v_1 = v_2 + 2$
2) $v_1 + v_2 = 22$

Для решения системы подставим выражение для $v_1$ из первого уравнения во второе:

$(v_2 + 2) + v_2 = 22$

Решим полученное уравнение относительно $v_2$:

$2v_2 + 2 = 22$

$2v_2 = 22 - 2$

$2v_2 = 20$

$v_2 = \frac{20}{2}$

$v_2 = 10 \text{ км/ч}$

Мы нашли скорость второго (более медленного) велосипедиста. Теперь найдем скорость первого велосипедиста, подставив найденное значение $v_2$ в первое уравнение системы:

$v_1 = v_2 + 2 = 10 + 2 = 12 \text{ км/ч}$

Проведем проверку найденных значений. Разница скоростей составляет $12 \text{ км/ч} - 10 \text{ км/ч} = 2 \text{ км/ч}$, что соответствует условию. За 3 часа первый велосипедист проедет $12 \text{ км/ч} \cdot 3 \text{ ч} = 36 \text{ км}$, а второй — $10 \text{ км/ч} \cdot 3 \text{ ч} = 30 \text{ км}$. Суммарное расстояние составит $36 \text{ км} + 30 \text{ км} = 66 \text{ км}$, что равно исходному расстоянию между пунктами. Все условия задачи выполнены.

Ответ: скорость одного велосипедиста — 12 км/ч, скорость другого велосипедиста — 10 км/ч.

1.55. Скорость катера на 16 км больше скорости течения реки. Катер за 2 ч проплыл 18 км по течению реки и 20 км против течения реки. Каковы скорости катера и течения реки?

Для решения задачи введем переменные. Пусть $v_к$ (км/ч) — собственная скорость катера, а $v_т$ (км/ч) — скорость течения реки.

Исходя из первого условия, скорость катера на 16 км/ч больше скорости течения. Это можно записать в виде уравнения:

$v_к = v_т + 16$

Скорость катера при движении по течению реки равна сумме его собственной скорости и скорости течения: $v_{по~теч.} = v_к + v_т$.

Скорость катера при движении против течения реки равна разности его собственной скорости и скорости течения: $v_{против~теч.} = v_к - v_т$.

Время, затраченное на путь, вычисляется по формуле $t = S/v$, где $S$ — это расстояние, а $v$ — скорость.

Время, которое катер затратил на 18 км по течению, равно: $t_1 = \frac{18}{v_к + v_т}$.

Время, которое катер затратил на 20 км против течения, равно: $t_2 = \frac{20}{v_к - v_т}$.

Общее время в пути составляет 2 часа, что позволяет нам составить второе уравнение:

$t_1 + t_2 = 2$

$\frac{18}{v_к + v_т} + \frac{20}{v_к - v_т} = 2$

Получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными:

1. $v_к = v_т + 16$

2. $\frac{18}{v_к + v_т} + \frac{20}{v_к - v_т} = 2$

Подставим выражение для $v_к$ из первого уравнения во второе. Для этого сначала выразим знаменатели через $v_т$:

$v_к + v_т = (v_т + 16) + v_т = 2v_т + 16$

$v_к - v_т = (v_т + 16) - v_т = 16$

Теперь подставим полученные выражения в уравнение времени:

$\frac{18}{2v_т + 16} + \frac{20}{16} = 2$

Решим это уравнение относительно $v_т$. Упростим его:

$\frac{18}{2(v_т + 8)} + \frac{5}{4} = 2$

$\frac{9}{v_т + 8} + 1.25 = 2$

$\frac{9}{v_т + 8} = 2 - 1.25$

$\frac{9}{v_т + 8} = 0.75$

Представим 0.75 в виде дроби $\frac{3}{4}$:

$\frac{9}{v_т + 8} = \frac{3}{4}$

Используя свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних), получаем:

$3 \cdot (v_т + 8) = 9 \cdot 4$

$3v_т + 24 = 36$

$3v_т = 36 - 24$

$3v_т = 12$

$v_т = \frac{12}{3}$

$v_т = 4$

Скорость течения реки равна 4 км/ч. Теперь найдем собственную скорость катера, подставив значение $v_т$ в первое уравнение:

$v_к = 4 + 16 = 20$

Собственная скорость катера равна 20 км/ч.

Проверка:
Время по течению: $\frac{18}{20+4} = \frac{18}{24} = \frac{3}{4}$ часа = 45 минут.
Время против течения: $\frac{20}{20-4} = \frac{20}{16} = \frac{5}{4}$ часа = 1 час 15 минут.
Общее время: $\frac{3}{4} + \frac{5}{4} = \frac{8}{4} = 2$ часа.

Все условия задачи выполнены.

Ответ: скорость катера 20 км/ч, скорость течения реки 4 км/ч.

1.56. Площадь трех участков земли равна 60 га. Площадь первого участка составляет 25% суммы площадей всех трех участков, площади второго и третьего участков соотносятся как 4 : 5. Какова площадь каждого из участков?

Обозначим общую площадь трех участков как $S_{общ}$, а площади первого, второго и третьего участков — как $S_1$, $S_2$ и $S_3$ соответственно.
Согласно условию, $S_{общ} = 60$ га.

1. Найдем площадь первого участка.
Площадь первого участка составляет 25% от общей площади всех трех участков. Чтобы найти 25% от числа, нужно умножить это число на 0.25 (так как $25\% = \frac{25}{100} = 0.25$).
$S_1 = 60 \cdot 0.25 = 15$ га.

2. Найдем суммарную площадь второго и третьего участков.
Суммарная площадь второго и третьего участков равна разности общей площади и площади первого участка.
$S_2 + S_3 = S_{общ} - S_1 = 60 - 15 = 45$ га.

3. Найдем площади второго и третьего участков.
Площади второго и третьего участков соотносятся как $4:5$. Это означает, что если разделить их общую площадь на $4+5=9$ равных частей, то 4 части придутся на второй участок, а 5 частей — на третий.
Найдем, сколько гектаров составляет одна часть:
$45 \div 9 = 5$ га.
Теперь вычислим площадь второго участка (4 части):
$S_2 = 4 \cdot 5 = 20$ га.
И площадь третьего участка (5 частей):
$S_3 = 5 \cdot 5 = 25$ га.

Ответ: площадь первого участка — 15 га, второго — 20 га, третьего — 25 га.

1.57. Катер прошел 20 км вверх по реке и 30 км вниз, затратив на весь путь 2 ч. Какова скорость течения реки, если скорость катера в стоячей воде 25 км/ч?

Решение:

Обозначим искомую скорость течения реки за $x$ км/ч.
Согласно условию, собственная скорость катера (скорость в стоячей воде) равна 25 км/ч.
Тогда скорость катера при движении вверх по реке (против течения) составляет $(25 - x)$ км/ч.
Скорость катера при движении вниз по реке (по течению) составляет $(25 + x)$ км/ч.
Заметим, что для того, чтобы катер мог двигаться против течения, его собственная скорость должна быть больше скорости течения, то есть $x < 25$.

Время, которое катер затратил на путь вверх по реке, вычисляется по формуле $t = S/v$, где $S = 20$ км, а $v = (25 - x)$ км/ч:
$t_{вверх} = \frac{20}{25 - x}$ ч.

Время, которое катер затратил на путь вниз по реке, где $S = 30$ км, а $v = (25 + x)$ км/ч:
$t_{вниз} = \frac{30}{25 + x}$ ч.

Общее время, затраченное на весь путь, равно 2 часа. Составим уравнение, сложив время движения вверх и вниз по реке:
$\frac{20}{25 - x} + \frac{30}{25 + x} = 2$

Для решения уравнения приведем левую часть к общему знаменателю $(25 - x)(25 + x) = 625 - x^2$:
$\frac{20(25 + x) + 30(25 - x)}{(25 - x)(25 + x)} = 2$
$\frac{500 + 20x + 750 - 30x}{625 - x^2} = 2$
$\frac{1250 - 10x}{625 - x^2} = 2$

Теперь умножим обе части уравнения на знаменатель $(625 - x^2)$, при условии, что $x \neq \pm 25$:
$1250 - 10x = 2(625 - x^2)$
$1250 - 10x = 1250 - 2x^2$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону:
$2x^2 - 10x = 0$

Вынесем общий множитель $2x$ за скобки:
$2x(x - 5) = 0$

Это уравнение имеет два корня:
$x_1 = 0$
$x_2 = 5$

Корень $x = 0$ означает отсутствие течения, что возможно, но в контексте задачи о движении "вверх" и "вниз" по реке обычно подразумевается наличие течения.
Корень $x = 5$ удовлетворяет условию $x < 25$. Проверим его, подставив в исходные выражения для времени:
Время вверх по реке: $t_{вверх} = \frac{20}{25 - 5} = \frac{20}{20} = 1$ час.
Время вниз по реке: $t_{вниз} = \frac{30}{25 + 5} = \frac{30}{30} = 1$ час.
Общее время: $1 + 1 = 2$ часа, что соответствует условию задачи.

Ответ: скорость течения реки равна 5 км/ч.