Страница 26 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.28.

1) $\begin{cases} 2x - 3y = -18, \\ xy = -12; \end{cases}$

2) $\begin{cases} 2x^2 - 3y^2 = -19, \\ xy = -6; \end{cases}$

3) $\begin{cases} x^2 + y^2 = 65, \\ xy = 28. \end{cases}$

1) Дана система уравнений: $ \begin{cases} 2x - 3y = -18, \\ xy = -12. \end{cases} $ Из второго уравнения выразим $y$ через $x$ (поскольку $x=0$ не является решением, деление на $x$ возможно): $y = -\frac{12}{x}$.
Подставим это выражение в первое уравнение системы: $2x - 3(-\frac{12}{x}) = -18$
$2x + \frac{36}{x} = -18$.
Умножим обе части уравнения на $x$, чтобы избавиться от дроби: $2x^2 + 36 = -18x$
$2x^2 + 18x + 36 = 0$.
Разделим уравнение на 2 для упрощения: $x^2 + 9x + 18 = 0$.
Это квадратное уравнение. Найдем его корни. По теореме Виета, сумма корней равна $-9$, а их произведение равно $18$. Легко подобрать корни: $x_1 = -3$ и $x_2 = -6$.
Теперь найдем соответствующие значения $y$ для каждого корня $x$.
Если $x_1 = -3$, то $y_1 = -\frac{12}{-3} = 4$.
Если $x_2 = -6$, то $y_2 = -\frac{12}{-6} = 2$.
Таким образом, мы получили две пары решений.
Ответ: $(-3, 4), (-6, 2)$.

2) Дана система уравнений: $ \begin{cases} 2x^2 - 3y^2 = -19, \\ xy = -6. \end{cases} $ Из второго уравнения выразим $y$ через $x$: $y = -\frac{6}{x}$.
Подставим это выражение в первое уравнение: $2x^2 - 3(-\frac{6}{x})^2 = -19$
$2x^2 - 3(\frac{36}{x^2}) = -19$
$2x^2 - \frac{108}{x^2} = -19$.
Умножим обе части на $x^2$: $2(x^2)^2 - 108 = -19x^2$
$2(x^2)^2 + 19x^2 - 108 = 0$.
Это биквадратное уравнение. Сделаем замену переменной: пусть $t = x^2$. Так как $x^2$ не может быть отрицательным, $t \ge 0$. $2t^2 + 19t - 108 = 0$.
Решим это квадратное уравнение относительно $t$ с помощью дискриминанта.
$D = b^2 - 4ac = 19^2 - 4(2)(-108) = 361 + 864 = 1225 = 35^2$.
$t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-19 \pm 35}{4}$.
$t_1 = \frac{-19 - 35}{4} = \frac{-54}{4} = -13.5$. Этот корень не удовлетворяет условию $t \ge 0$.
$t_2 = \frac{-19 + 35}{4} = \frac{16}{4} = 4$.
Вернемся к замене: $x^2 = 4$.
Отсюда $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.
Найдем соответствующие значения $y$:
Если $x_1 = 2$, то $y_1 = -\frac{6}{2} = -3$.
Если $x_2 = -2$, то $y_2 = -\frac{6}{-2} = 3$.
Получили две пары решений.
Ответ: $(2, -3), (-2, 3)$.

3) Дана система уравнений: $ \begin{cases} x^2 + y^2 = 65, \\ xy = 28. \end{cases} $ Это симметрическая система. Для её решения удобно использовать формулы сокращенного умножения. Сложим первое уравнение с удвоенным вторым: $(x^2 + y^2) + 2(xy) = 65 + 2(28)$
$x^2 + 2xy + y^2 = 65 + 56$
$(x+y)^2 = 121$.
Отсюда следует, что $x+y = 11$ или $x+y = -11$.
Рассмотрим два случая.
Случай 1: $x+y = 11$. Вместе со вторым уравнением исходной системы $xy = 28$ получаем новую систему: $ \begin{cases} x+y = 11, \\ xy = 28. \end{cases} $ По теореме, обратной теореме Виета, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - 11t + 28 = 0$. Корни этого уравнения: $t_1 = 4, t_2 = 7$. Следовательно, решениями являются пары $(4, 7)$ и $(7, 4)$.
Случай 2: $x+y = -11$. Аналогично получаем систему: $ \begin{cases} x+y = -11, \\ xy = 28. \end{cases} $ $x$ и $y$ являются корнями уравнения $t^2 - (-11)t + 28 = 0$, то есть $t^2 + 11t + 28 = 0$. Корни этого уравнения: $t_1 = -4, t_2 = -7$. Следовательно, решениями являются пары $(-4, -7)$ и $(-7, -4)$.
Объединяя решения из обоих случаев, получаем четыре пары.
Ответ: $(4, 7), (7, 4), (-4, -7), (-7, -4)$.

1.29. 1)

$\begin{cases} y - x = 1, \\ x + |y| = 1; \end{cases}$

1.29. 2)

$\begin{cases} |x - 1| + y = 4, \\ x + y = 3; \end{cases}$

1.29. 3)

$\begin{cases} x^2 - 3y = -5, \\ 7x + 3y = -1. \end{cases}$

1) Дана система уравнений: $ \begin{cases} y - x = 1, \\ x + |y| = 1; \end{cases} $
Из первого уравнения выразим $y$ через $x$: $y = x + 1$.
Подставим это выражение во второе уравнение системы: $x + |x + 1| = 1$.
Для решения уравнения с модулем рассмотрим два случая.
Случай 1: подмодульное выражение неотрицательно, $x + 1 \ge 0$, то есть $x \ge -1$.
В этом случае $|x + 1| = x + 1$. Уравнение принимает вид: $x + (x + 1) = 1$
$2x + 1 = 1$
$2x = 0$
$x = 0$.
Данное значение $x=0$ удовлетворяет условию $x \ge -1$. Найдем соответствующее значение $y$: $y = x + 1 = 0 + 1 = 1$.
Таким образом, мы получили решение $(0, 1)$.
Случай 2: подмодульное выражение отрицательно, $x + 1 < 0$, то есть $x < -1$.
В этом случае $|x + 1| = -(x + 1)$. Уравнение принимает вид: $x - (x + 1) = 1$
$x - x - 1 = 1$
$-1 = 1$.
Получено неверное равенство, следовательно, в этом случае решений нет.
Единственное решение системы — $(0, 1)$.
Ответ: $(0, 1)$.

2) Дана система уравнений: $ \begin{cases} |x - 1| + y = 4, \\ x + y = 3; \end{cases} $
Из второго уравнения выразим $y$: $y = 3 - x$.
Подставим это выражение в первое уравнение системы: $|x - 1| + (3 - x) = 4$.
Выразим модуль: $|x - 1| = 4 - (3 - x)$
$|x - 1| = 1 + x$.
Уравнение вида $|A| = B$ имеет решения только при условии $B \ge 0$. В данном случае $1 + x \ge 0$, что означает $x \ge -1$. При этом условии уравнение $|x - 1| = 1 + x$ равносильно совокупности двух уравнений: $x - 1 = 1 + x$ или $x - 1 = -(1 + x)$.
Рассмотрим первое уравнение:
$x - 1 = 1 + x$
$-1 = 1$.
Это неверное равенство, поэтому это уравнение не имеет решений.
Рассмотрим второе уравнение:
$x - 1 = -(1 + x)$
$x - 1 = -1 - x$
$2x = 0$
$x = 0$.
Это значение удовлетворяет условию $x \ge -1$. Найдем соответствующее значение $y$: $y = 3 - x = 3 - 0 = 3$.
Получили решение $(0, 3)$. Выполним проверку:
$|0-1| + 3 = 1+3=4$ (верно).
$0+3=3$ (верно).
Ответ: $(0, 3)$.

3) Дана система уравнений: $ \begin{cases} x^2 - 3y = -5, \\ 7x + 3y = -1; \end{cases} $
Сложим два уравнения системы методом алгебраического сложения, чтобы исключить переменную $y$: $(x^2 - 3y) + (7x + 3y) = -5 + (-1)$
$x^2 + 7x = -6$
$x^2 + 7x + 6 = 0$.
Получили приведенное квадратное уравнение относительно $x$. Решим его. По теореме Виета, сумма корней равна $-7$, а их произведение равно $6$. Подбором находим корни: $x_1 = -1$ и $x_2 = -6$.
Теперь найдем соответствующие значения $y$ для каждого корня. Для этого воспользуемся вторым уравнением системы $7x + 3y = -1$.
Из него $3y = -1 - 7x$, откуда $y = \frac{-1 - 7x}{3}$.
При $x_1 = -1$:
$y_1 = \frac{-1 - 7(-1)}{3} = \frac{-1 + 7}{3} = \frac{6}{3} = 2$.
Первое решение: $(-1, 2)$.
При $x_2 = -6$:
$y_2 = \frac{-1 - 7(-6)}{3} = \frac{-1 + 42}{3} = \frac{41}{3}$.
Второе решение: $(-6, \frac{41}{3})$.
Ответ: $(-1, 2), (-6, \frac{41}{3})$.

1.30.

1) $\begin{cases} \sqrt{x} + \sqrt{y} = 4, \\ x + y - 3\sqrt{xy} = 1; \end{cases}$

2) $\begin{cases} \frac{1}{y-1} - \frac{1}{y+1} = \frac{1}{x}, \\ y^2 - x - 9 = 0; \end{cases}$

3) $\begin{cases} x + y = 5, \\ x^3 + y^3 = 35; \end{cases}$

1)

Дана система уравнений:
$ \begin{cases} \sqrt{x} + \sqrt{y} = 4, \\ x + y - 3\sqrt{xy} = 1; \end{cases} $
Область допустимых значений (ОДЗ): $x \ge 0, y \ge 0$.
Введем новые переменные: пусть $a = \sqrt{x}$ и $b = \sqrt{y}$, где $a \ge 0, b \ge 0$.
Тогда $x = a^2$ и $y = b^2$. Система примет вид:
$ \begin{cases} a + b = 4, \\ a^2 + b^2 - 3ab = 1. \end{cases} $
Преобразуем второе уравнение, используя тождество $a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab$:
$(a+b)^2 - 2ab - 3ab = 1$
$(a+b)^2 - 5ab = 1$
Подставим в это уравнение значение $a+b=4$ из первого уравнения системы:
$4^2 - 5ab = 1$
$16 - 5ab = 1$
$5ab = 15$
$ab = 3$
Теперь мы имеем систему для $a$ и $b$:
$ \begin{cases} a + b = 4, \\ ab = 3. \end{cases} $
По теореме Виета, $a$ и $b$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - 4t + 3 = 0$.
Решим это уравнение: $(t-1)(t-3) = 0$. Корни $t_1 = 1, t_2 = 3$.
Получаем два случая:
1. $a=1, b=3$. Возвращаемся к исходным переменным:
$\sqrt{x} = 1 \Rightarrow x=1$.
$\sqrt{y} = 3 \Rightarrow y=9$.
Решение: $(1, 9)$.
2. $a=3, b=1$. Возвращаемся к исходным переменным:
$\sqrt{x} = 3 \Rightarrow x=9$.
$\sqrt{y} = 1 \Rightarrow y=1$.
Решение: $(9, 1)$.
Оба решения удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $(1, 9), (9, 1)$.

2)

Дана система уравнений:
$ \begin{cases} \frac{1}{y-1} - \frac{1}{y+1} = \frac{1}{x}, \\ y^2 - x - 9 = 0. \end{cases} $
ОДЗ: $y \ne \pm 1, x \ne 0$.
Упростим первое уравнение, приведя дроби к общему знаменателю:
$\frac{(y+1) - (y-1)}{(y-1)(y+1)} = \frac{1}{x}$
$\frac{y+1-y+1}{y^2-1} = \frac{1}{x}$
$\frac{2}{y^2-1} = \frac{1}{x}$
Отсюда выразим $x$:
$x = \frac{y^2-1}{2}$
Подставим это выражение для $x$ во второе уравнение системы:
$y^2 - \left(\frac{y^2-1}{2}\right) - 9 = 0$
Умножим обе части уравнения на 2:
$2y^2 - (y^2-1) - 18 = 0$
$2y^2 - y^2 + 1 - 18 = 0$
$y^2 - 17 = 0$
$y^2 = 17 \Rightarrow y_1 = \sqrt{17}, y_2 = -\sqrt{17}$.
Оба значения $y$ удовлетворяют ОДЗ ($y \ne \pm 1$).
Теперь найдем соответствующее значение $x$. Так как $x$ зависит от $y^2$, значение $x$ будет одинаковым для обоих $y$:
$x = \frac{17-1}{2} = \frac{16}{2} = 8$.
Это значение $x$ удовлетворяет ОДЗ ($x \ne 0$).
Получаем два решения:
1. $(8, \sqrt{17})$
2. $(8, -\sqrt{17})$
Ответ: $(8, \sqrt{17}), (8, -\sqrt{17})$.

3)

Дана система уравнений:
$ \begin{cases} x + y = 5, \\ x^3 + y^3 = 35. \end{cases} $
Используем формулу суммы кубов: $x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2)$.
Подставим известные значения из системы:
$35 = 5(x^2 - xy + y^2)$
Разделим обе части на 5:
$x^2 - xy + y^2 = 7$
Теперь система выглядит так:
$ \begin{cases} x + y = 5, \\ x^2 - xy + y^2 = 7. \end{cases} $
Преобразуем второе уравнение, используя тождество $x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy$:
$(x+y)^2 - 2xy - xy = 7$
$(x+y)^2 - 3xy = 7$
Подставим $x+y=5$ из первого уравнения:
$5^2 - 3xy = 7$
$25 - 3xy = 7$
$3xy = 18$
$xy = 6$
Получили новую, более простую систему:
$ \begin{cases} x + y = 5, \\ xy = 6. \end{cases} $
По теореме Виета, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - 5t + 6 = 0$.
Решим это уравнение: $(t-2)(t-3)=0$. Корни $t_1 = 2, t_2 = 3$.
Таким образом, решения системы:
1. $x=2, y=3$
2. $x=3, y=2$
Ответ: $(2, 3), (3, 2)$.

1.31. 1)

$\begin{cases}2x^2 - 3xy - 19y^2 = 25, \\x^2 - 6y^2 = 250;\end{cases}$

2)

$\begin{cases}7x^2 - 6xy + 12y^2 = 108, \\x^2 - \frac{5}{6}xy + \frac{7}{8}y^2 = 18.\end{cases}$

1) Решим систему уравнений:$ \begin{cases} 2x^2 - 3xy - 19y^2 = 25, \\ x^2 - 6y^2 = 250. \end{cases} $
Данная система является системой однородных уравнений. Чтобы ее решить, приведем правые части уравнений к одному значению. Умножим первое уравнение на 10:
$ 10 \cdot (2x^2 - 3xy - 19y^2) = 10 \cdot 25 $, что дает $ 20x^2 - 30xy - 190y^2 = 250 $.
Теперь приравняем левые части полученного уравнения и второго уравнения исходной системы:
$ 20x^2 - 30xy - 190y^2 = x^2 - 6y^2 $
Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные слагаемые:
$ 19x^2 - 30xy - 184y^2 = 0 $
Это однородное уравнение. Заметим, что $y \neq 0$, так как если $y=0$, то из уравнения следует $19x^2 = 0$, то есть $x=0$. Пара $(0, 0)$ не является решением исходной системы. Поэтому мы можем разделить обе части уравнения на $y^2$:
$ 19\left(\frac{x}{y}\right)^2 - 30\left(\frac{x}{y}\right) - 184 = 0 $
Сделаем замену $t = \frac{x}{y}$:
$ 19t^2 - 30t - 184 = 0 $
Решим это квадратное уравнение относительно $t$. Найдем дискриминант:
$ D = (-30)^2 - 4 \cdot 19 \cdot (-184) = 900 + 13984 = 14884 = 122^2 $
Найдем корни уравнения:
$ t_1 = \frac{30 + 122}{2 \cdot 19} = \frac{152}{38} = 4 $
$ t_2 = \frac{30 - 122}{2 \cdot 19} = \frac{-92}{38} = -\frac{46}{19} $
Теперь вернемся к исходным переменным. Рассмотрим два случая.
Случай 1: $\frac{x}{y} = 4$, откуда $x = 4y$. Подставим это выражение во второе уравнение исходной системы $x^2 - 6y^2 = 250$:
$ (4y)^2 - 6y^2 = 250 $
$ 16y^2 - 6y^2 = 250 $
$ 10y^2 = 250 $
$ y^2 = 25 $, откуда $ y_1 = 5, y_2 = -5 $.
Если $y_1 = 5$, то $x_1 = 4 \cdot 5 = 20$. Получаем решение $(20, 5)$.
Если $y_2 = -5$, то $x_2 = 4 \cdot (-5) = -20$. Получаем решение $(-20, -5)$.
Случай 2: $\frac{x}{y} = -\frac{46}{19}$, откуда $x = -\frac{46}{19}y$. Подставим во второе уравнение системы:
$ \left(-\frac{46}{19}y\right)^2 - 6y^2 = 250 $
$ \frac{2116}{361}y^2 - 6y^2 = 250 $
$ \left(\frac{2116 - 2166}{361}\right)y^2 = 250 $
$ -\frac{50}{361}y^2 = 250 $
$ y^2 = -250 \cdot \frac{361}{50} = -5 \cdot 361 $
Так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным, в этом случае действительных решений нет.
Ответ: $(20, 5), (-20, -5)$.

2) Решим систему уравнений:$ \begin{cases} 7x^2 - 6xy + 12y^2 = 108, \\ x^2 - \frac{5}{6}xy + \frac{7}{8}y^2 = 18. \end{cases} $
Это система однородных уравнений. Умножим второе уравнение на 6, чтобы правые части уравнений стали равны ($108 = 18 \cdot 6$):
$ 6 \cdot \left(x^2 - \frac{5}{6}xy + \frac{7}{8}y^2\right) = 6 \cdot 18 $
$ 6x^2 - 5xy + \frac{42}{8}y^2 = 108 $, или $ 6x^2 - 5xy + \frac{21}{4}y^2 = 108 $.
Приравняем левые части первого уравнения исходной системы и полученного уравнения:
$ 7x^2 - 6xy + 12y^2 = 6x^2 - 5xy + \frac{21}{4}y^2 $
Перенесем все члены в левую часть:
$ (7x^2 - 6x^2) + (-6xy + 5xy) + \left(12y^2 - \frac{21}{4}y^2\right) = 0 $
$ x^2 - xy + \left(\frac{48 - 21}{4}\right)y^2 = 0 $
$ x^2 - xy + \frac{27}{4}y^2 = 0 $
Заметим, что $y \neq 0$, так как в противном случае $x=0$, а пара $(0,0)$ не является решением исходной системы. Разделим уравнение на $y^2$:
$ \left(\frac{x}{y}\right)^2 - \frac{x}{y} + \frac{27}{4} = 0 $
Сделаем замену $t = \frac{x}{y}$:
$ t^2 - t + \frac{27}{4} = 0 $
Найдем дискриминант этого квадратного уравнения:
$ D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot \frac{27}{4} = 1 - 27 = -26 $
Поскольку дискриминант отрицательный ($D < 0$), уравнение не имеет действительных корней. Следовательно, исходная система уравнений не имеет действительных решений.
Ответ: действительных решений нет.

1.32.

1)

$\begin{cases} \frac{x^2}{y} + \frac{y^2}{x} = 18, \\ x + y = 12; \end{cases}$

2)

$\begin{cases} \frac{x^2}{y} + \frac{y^2}{x} = 3, \\ x + y = 2. \end{cases}$

1)Исходная система уравнений:$$ \begin{cases} \frac{x^2}{y} + \frac{y^2}{x} = 18 \\ x + y = 12 \end{cases} $$Область допустимых значений: $x \neq 0$, $y \neq 0$.
Преобразуем первое уравнение, приведя дроби к общему знаменателю:$$ \frac{x^3 + y^3}{xy} = 18 $$$$ x^3 + y^3 = 18xy $$Воспользуемся формулой суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$.$$ (x+y)(x^2 - xy + y^2) = 18xy $$Из второго уравнения системы известно, что $x+y=12$. Подставим это значение в преобразованное первое уравнение:$$ 12(x^2 - xy + y^2) = 18xy $$Разделим обе части уравнения на 6:$$ 2(x^2 - xy + y^2) = 3xy $$$$ 2x^2 - 2xy + 2y^2 = 3xy $$$$ 2x^2 - 5xy + 2y^2 = 0 $$Это однородное уравнение второй степени. Так как $y \neq 0$, разделим обе части на $y^2$:$$ 2\left(\frac{x}{y}\right)^2 - 5\left(\frac{x}{y}\right) + 2 = 0 $$Сделаем замену $t = \frac{x}{y}$. Получим квадратное уравнение:$$ 2t^2 - 5t + 2 = 0 $$Найдем дискриминант: $D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9$.
Корни уравнения:$$ t_1 = \frac{5 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 - 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} $$$$ t_2 = \frac{5 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 + 3}{4} = \frac{8}{4} = 2 $$Вернемся к исходным переменным. Рассмотрим два случая:
Случай 1: $\frac{x}{y} = 2$, откуда $x = 2y$.
Подставим это выражение во второе уравнение системы:$$ 2y + y = 12 $$$$ 3y = 12 $$$$ y = 4 $$Тогда $x = 2 \cdot 4 = 8$.
Получили пару чисел $(8, 4)$.
Случай 2: $\frac{x}{y} = \frac{1}{2}$, откуда $y = 2x$.
Подставим это выражение во второе уравнение системы:$$ x + 2x = 12 $$$$ 3x = 12 $$$$ x = 4 $$Тогда $y = 2 \cdot 4 = 8$.
Получили пару чисел $(4, 8)$.
Оба решения удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: (8, 4), (4, 8).

2)Исходная система уравнений:$$ \begin{cases} \frac{x^2}{y} + \frac{y^2}{x} = 3 \\ x + y = 2 \end{cases} $$Область допустимых значений: $x \neq 0$, $y \neq 0$.
Преобразуем первое уравнение, приведя дроби к общему знаменателю:$$ \frac{x^3 + y^3}{xy} = 3 $$$$ x^3 + y^3 = 3xy $$Используем формулу суммы кубов $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$:$$ (x+y)(x^2 - xy + y^2) = 3xy $$Из второго уравнения системы известно, что $x+y=2$. Подставим это значение:$$ 2(x^2 - xy + y^2) = 3xy $$$$ 2x^2 - 2xy + 2y^2 = 3xy $$$$ 2x^2 - 5xy + 2y^2 = 0 $$Это то же самое однородное уравнение, что и в задаче 1). Разделив на $y^2$ и сделав замену $t = \frac{x}{y}$, получим $2t^2 - 5t + 2 = 0$ с корнями $t_1 = \frac{1}{2}$ и $t_2 = 2$.
Рассмотрим два случая:
Случай 1: $\frac{x}{y} = 2$, откуда $x = 2y$.
Подставим это выражение во второе уравнение системы $x+y=2$:$$ 2y + y = 2 $$$$ 3y = 2 $$$$ y = \frac{2}{3} $$Тогда $x = 2 \cdot \frac{2}{3} = \frac{4}{3}$.
Получили пару чисел $(\frac{4}{3}, \frac{2}{3})$.
Случай 2: $\frac{x}{y} = \frac{1}{2}$, откуда $y = 2x$.
Подставим это выражение во второе уравнение системы $x+y=2$:$$ x + 2x = 2 $$$$ 3x = 2 $$$$ x = \frac{2}{3} $$Тогда $y = 2 \cdot \frac{2}{3} = \frac{4}{3}$.
Получили пару чисел $(\frac{2}{3}, \frac{4}{3})$.
Оба решения удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $(\frac{4}{3}, \frac{2}{3})$, $(\frac{2}{3}, \frac{4}{3})$.

1.33.

1)

$\begin{cases} \frac{1}{y} + \frac{1}{x} = 1, \\ x + y = 4; \end{cases}$

2)

$\begin{cases} y - x = 2, \\ \frac{10x + y}{xy} = 3. \end{cases}$

1) Дана система уравнений:

$\begin{cases}\frac{1}{y} + \frac{1}{x} = 1 \\x + y = 4\end{cases}$

Область допустимых значений (ОДЗ) для данной системы: $x \neq 0$ и $y \neq 0$.

Преобразуем первое уравнение, приведя левую часть к общему знаменателю:

$\frac{x + y}{xy} = 1$

Теперь мы можем подставить второе уравнение системы, $x + y = 4$, в преобразованное первое уравнение:

$\frac{4}{xy} = 1$

Из этого уравнения следует, что $xy = 4$.

Таким образом, исходная система сводится к следующей системе уравнений:

$\begin{cases}x + y = 4 \\xy = 4\end{cases}$

Согласно обратной теореме Виета, числа $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (x+y)t + xy = 0$.

Подставим известные нам значения суммы и произведения корней:

$t^2 - 4t + 4 = 0$

Это уравнение является полным квадратом:

$(t-2)^2 = 0$

Уравнение имеет один корень $t = 2$ кратности 2.

Это означает, что $x = 2$ и $y = 2$.

Проверим, удовлетворяет ли найденное решение $(2, 2)$ исходной системе:

Первое уравнение: $\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$ (верно).

Второе уравнение: $2 + 2 = 4$ (верно).

Решение удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $(2, 2)$.

2) Дана система уравнений:

$\begin{cases}y - x = 2 \\\frac{10x + y}{xy} = 3\end{cases}$

Область допустимых значений (ОДЗ): $x \neq 0$ и $y \neq 0$.

Из первого уравнения выразим переменную $y$ через $x$:

$y = x + 2$

Подставим это выражение для $y$ во второе уравнение системы:

$\frac{10x + (x+2)}{x(x+2)} = 3$

Упростим числитель дроби:

$\frac{11x + 2}{x^2 + 2x} = 3$

Умножим обе части уравнения на знаменатель $x^2 + 2x$ (при условии $x^2 + 2x \neq 0$, что следует из ОДЗ):

$11x + 2 = 3(x^2 + 2x)$

$11x + 2 = 3x^2 + 6x$

Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$3x^2 + 6x - 11x - 2 = 0$

$3x^2 - 5x - 2 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 25 + 24 = 49$

Найдем корни уравнения по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{5 \pm 7}{6}$

Получаем два возможных значения для $x$:

$x_1 = \frac{5 + 7}{6} = \frac{12}{6} = 2$

$x_2 = \frac{5 - 7}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$

Теперь найдем соответствующие значения $y$ для каждого $x$ из уравнения $y = x + 2$:

Если $x_1 = 2$, то $y_1 = 2 + 2 = 4$. Первое решение: $(2, 4)$.

Если $x_2 = -\frac{1}{3}$, то $y_2 = -\frac{1}{3} + 2 = -\frac{1}{3} + \frac{6}{3} = \frac{5}{3}$. Второе решение: $(-\frac{1}{3}, \frac{5}{3})$.

Оба решения удовлетворяют ОДЗ.

Выполним проверку для обоих решений.

Для пары $(2, 4)$:

$y - x = 4 - 2 = 2$ (верно).

$\frac{10x + y}{xy} = \frac{10(2) + 4}{2 \cdot 4} = \frac{24}{8} = 3$ (верно).

Для пары $(-\frac{1}{3}, \frac{5}{3})$:

$y - x = \frac{5}{3} - (-\frac{1}{3}) = \frac{5+1}{3} = \frac{6}{3} = 2$ (верно).

$\frac{10x + y}{xy} = \frac{10(-\frac{1}{3}) + \frac{5}{3}}{(-\frac{1}{3}) \cdot \frac{5}{3}} = \frac{-\frac{10}{3} + \frac{5}{3}}{-\frac{5}{9}} = \frac{-\frac{5}{3}}{-\frac{5}{9}} = \frac{5}{3} \cdot \frac{9}{5} = 3$ (верно).

Ответ: $(2, 4)$, $(-\frac{1}{3}, \frac{5}{3})$.

1.34.

1)

$\begin{cases} xy = 36, \\ \sqrt{x} + \sqrt{y} = 5; \end{cases}$

2)

$\begin{cases} \sqrt{x} - \sqrt{y} = 2\sqrt{xy}, \\ x + y = 20. \end{cases}$

1) Дана система уравнений:
$\begin{cases}xy = 36 \\\sqrt{x} + \sqrt{y} = 5\end{cases}$
Область допустимых значений (ОДЗ) для данной системы: $x \ge 0$ и $y \ge 0$. Из первого уравнения $xy=36$ следует, что ни $x$, ни $y$ не могут быть равны нулю. Следовательно, $x > 0$ и $y > 0$.
Введем новые переменные. Пусть $u = \sqrt{x}$ и $v = \sqrt{y}$. Так как $x > 0$ и $y > 0$, то $u > 0$ и $v > 0$.
Тогда $x = u^2$ и $y = v^2$. Подставим это в исходную систему:
$\begin{cases}u^2 v^2 = 36 \\u + v = 5\end{cases}$
Из первого уравнения получаем $(uv)^2 = 36$. Поскольку $u > 0$ и $v > 0$, их произведение $uv$ также положительно. Значит, $uv = \sqrt{36} = 6$.
Теперь система для $u$ и $v$ выглядит так:
$\begin{cases}uv = 6 \\u + v = 5\end{cases}$
По теореме Виета, $u$ и $v$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (u+v)t + uv = 0$, то есть $t^2 - 5t + 6 = 0$.
Найдем корни этого уравнения: $t^2 - 2t - 3t + 6 = 0 \implies t(t-2) - 3(t-2) = 0 \implies (t-2)(t-3) = 0$.
Корни уравнения: $t_1 = 2$, $t_2 = 3$.
Это дает нам два возможных набора значений для $(u, v)$:
1. $u = 2, v = 3$
2. $u = 3, v = 2$
Теперь вернемся к исходным переменным $x$ и $y$.
В первом случае: $\sqrt{x} = 2 \implies x = 4$ и $\sqrt{y} = 3 \implies y = 9$. Получаем решение $(4, 9)$.
Во втором случае: $\sqrt{x} = 3 \implies x = 9$ и $\sqrt{y} = 2 \implies y = 4$. Получаем решение $(9, 4)$.
Оба решения удовлетворяют исходной системе.
Ответ: $(4, 9), (9, 4)$.

2) Дана система уравнений:
$\begin{cases}\sqrt{x} - \sqrt{y} = 2\sqrt{xy} \\x + y = 20\end{cases}$
ОДЗ: $x \ge 0$ и $y \ge 0$.
Из первого уравнения следует, что $\sqrt{x} - \sqrt{y} \ge 0$, так как правая часть $2\sqrt{xy}$ неотрицательна. Отсюда $\sqrt{x} \ge \sqrt{y}$, что для неотрицательных чисел равносильно $x \ge y$.
Если $y=0$, то из второго уравнения $x=20$. Подставляя в первое: $\sqrt{20} - 0 = 2\sqrt{20 \cdot 0} \implies \sqrt{20} = 0$, что неверно. Значит $y \ne 0$. Аналогично $x \ne 0$. Таким образом, $x > 0$ и $y > 0$.
Разделим обе части первого уравнения на $\sqrt{xy}$ (это возможно, так как $xy>0$):
$\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{xy}} - \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{xy}} = 2 \implies \frac{1}{\sqrt{y}} - \frac{1}{\sqrt{x}} = 2$.
Сделаем замену переменных: $u = \sqrt{x}$ и $v = \sqrt{y}$ ($u>0, v>0$). Система примет вид:
$\begin{cases}\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = 2 \\u^2 + v^2 = 20\end{cases}$
Из первого уравнения: $\frac{u-v}{uv} = 2 \implies u-v = 2uv$.
Второе уравнение можно представить как $(u-v)^2 + 2uv = 20$.
Подставим в него выражение для $u-v$:
$(2uv)^2 + 2uv = 20 \implies 4(uv)^2 + 2uv - 20 = 0$.
Разделим на 2: $2(uv)^2 + uv - 10 = 0$.
Пусть $P = uv$. Получаем квадратное уравнение $2P^2 + P - 10 = 0$.
Дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-10) = 1 + 80 = 81$.
Корни: $P_1 = \frac{-1 - \sqrt{81}}{4} = -2.5$ и $P_2 = \frac{-1 + \sqrt{81}}{4} = 2$.
Поскольку $u>0$ и $v>0$, их произведение $uv = P$ должно быть положительным. Значит, $P = -2.5$ — посторонний корень. Остается $uv = 2$.
Теперь имеем систему:
$\begin{cases}uv = 2 \\u^2 + v^2 = 20\end{cases}$
Так как $(u+v)^2 = u^2+v^2+2uv$, то $(u+v)^2 = 20 + 2(2) = 24$.
Поскольку $u, v > 0$, их сумма $u+v$ также положительна, поэтому $u+v = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}$.
Решаем систему:
$\begin{cases}u+v = 2\sqrt{6} \\uv = 2\end{cases}$
$u$ и $v$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (2\sqrt{6})t + 2 = 0$.
Найдем корни по формуле для четного второго коэффициента: $t = \sqrt{6} \pm \sqrt{(\sqrt{6})^2 - 2} = \sqrt{6} \pm \sqrt{4} = \sqrt{6} \pm 2$.
Получаем два корня: $t_1 = \sqrt{6}+2$ и $t_2 = \sqrt{6}-2$. Оба корня положительны, так как $\sqrt{6} > 2$.
Вспомним условие $x \ge y$, что эквивалентно $u \ge v$. Этому условию удовлетворяет только пара $u = \sqrt{6}+2$ и $v = \sqrt{6}-2$.
Находим $x$ и $y$:
$x = u^2 = (\sqrt{6}+2)^2 = 6 + 4\sqrt{6} + 4 = 10 + 4\sqrt{6}$.
$y = v^2 = (\sqrt{6}-2)^2 = 6 - 4\sqrt{6} + 4 = 10 - 4\sqrt{6}$.
Проверим решение. $x+y = (10+4\sqrt{6})+(10-4\sqrt{6}) = 20$. $\sqrt{x}-\sqrt{y}=u-v=(\sqrt{6}+2)-(\sqrt{6}-2)=4$. $2\sqrt{xy} = 2uv = 2(2) = 4$. Решение верное.
Ответ: $(10 + 4\sqrt{6}, 10 - 4\sqrt{6})$.