Номер 1.34, страница 26 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.34.

1)

$\begin{cases} xy = 36, \\ \sqrt{x} + \sqrt{y} = 5; \end{cases}$

2)

$\begin{cases} \sqrt{x} - \sqrt{y} = 2\sqrt{xy}, \\ x + y = 20. \end{cases}$

1) Дана система уравнений:
$\begin{cases}xy = 36 \\\sqrt{x} + \sqrt{y} = 5\end{cases}$
Область допустимых значений (ОДЗ) для данной системы: $x \ge 0$ и $y \ge 0$. Из первого уравнения $xy=36$ следует, что ни $x$, ни $y$ не могут быть равны нулю. Следовательно, $x > 0$ и $y > 0$.
Введем новые переменные. Пусть $u = \sqrt{x}$ и $v = \sqrt{y}$. Так как $x > 0$ и $y > 0$, то $u > 0$ и $v > 0$.
Тогда $x = u^2$ и $y = v^2$. Подставим это в исходную систему:
$\begin{cases}u^2 v^2 = 36 \\u + v = 5\end{cases}$
Из первого уравнения получаем $(uv)^2 = 36$. Поскольку $u > 0$ и $v > 0$, их произведение $uv$ также положительно. Значит, $uv = \sqrt{36} = 6$.
Теперь система для $u$ и $v$ выглядит так:
$\begin{cases}uv = 6 \\u + v = 5\end{cases}$
По теореме Виета, $u$ и $v$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (u+v)t + uv = 0$, то есть $t^2 - 5t + 6 = 0$.
Найдем корни этого уравнения: $t^2 - 2t - 3t + 6 = 0 \implies t(t-2) - 3(t-2) = 0 \implies (t-2)(t-3) = 0$.
Корни уравнения: $t_1 = 2$, $t_2 = 3$.
Это дает нам два возможных набора значений для $(u, v)$:
1. $u = 2, v = 3$
2. $u = 3, v = 2$
Теперь вернемся к исходным переменным $x$ и $y$.
В первом случае: $\sqrt{x} = 2 \implies x = 4$ и $\sqrt{y} = 3 \implies y = 9$. Получаем решение $(4, 9)$.
Во втором случае: $\sqrt{x} = 3 \implies x = 9$ и $\sqrt{y} = 2 \implies y = 4$. Получаем решение $(9, 4)$.
Оба решения удовлетворяют исходной системе.
Ответ: $(4, 9), (9, 4)$.

2) Дана система уравнений:
$\begin{cases}\sqrt{x} - \sqrt{y} = 2\sqrt{xy} \\x + y = 20\end{cases}$
ОДЗ: $x \ge 0$ и $y \ge 0$.
Из первого уравнения следует, что $\sqrt{x} - \sqrt{y} \ge 0$, так как правая часть $2\sqrt{xy}$ неотрицательна. Отсюда $\sqrt{x} \ge \sqrt{y}$, что для неотрицательных чисел равносильно $x \ge y$.
Если $y=0$, то из второго уравнения $x=20$. Подставляя в первое: $\sqrt{20} - 0 = 2\sqrt{20 \cdot 0} \implies \sqrt{20} = 0$, что неверно. Значит $y \ne 0$. Аналогично $x \ne 0$. Таким образом, $x > 0$ и $y > 0$.
Разделим обе части первого уравнения на $\sqrt{xy}$ (это возможно, так как $xy>0$):
$\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{xy}} - \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{xy}} = 2 \implies \frac{1}{\sqrt{y}} - \frac{1}{\sqrt{x}} = 2$.
Сделаем замену переменных: $u = \sqrt{x}$ и $v = \sqrt{y}$ ($u>0, v>0$). Система примет вид:
$\begin{cases}\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = 2 \\u^2 + v^2 = 20\end{cases}$
Из первого уравнения: $\frac{u-v}{uv} = 2 \implies u-v = 2uv$.
Второе уравнение можно представить как $(u-v)^2 + 2uv = 20$.
Подставим в него выражение для $u-v$:
$(2uv)^2 + 2uv = 20 \implies 4(uv)^2 + 2uv - 20 = 0$.
Разделим на 2: $2(uv)^2 + uv - 10 = 0$.
Пусть $P = uv$. Получаем квадратное уравнение $2P^2 + P - 10 = 0$.
Дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-10) = 1 + 80 = 81$.
Корни: $P_1 = \frac{-1 - \sqrt{81}}{4} = -2.5$ и $P_2 = \frac{-1 + \sqrt{81}}{4} = 2$.
Поскольку $u>0$ и $v>0$, их произведение $uv = P$ должно быть положительным. Значит, $P = -2.5$ — посторонний корень. Остается $uv = 2$.
Теперь имеем систему:
$\begin{cases}uv = 2 \\u^2 + v^2 = 20\end{cases}$
Так как $(u+v)^2 = u^2+v^2+2uv$, то $(u+v)^2 = 20 + 2(2) = 24$.
Поскольку $u, v > 0$, их сумма $u+v$ также положительна, поэтому $u+v = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}$.
Решаем систему:
$\begin{cases}u+v = 2\sqrt{6} \\uv = 2\end{cases}$
$u$ и $v$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (2\sqrt{6})t + 2 = 0$.
Найдем корни по формуле для четного второго коэффициента: $t = \sqrt{6} \pm \sqrt{(\sqrt{6})^2 - 2} = \sqrt{6} \pm \sqrt{4} = \sqrt{6} \pm 2$.
Получаем два корня: $t_1 = \sqrt{6}+2$ и $t_2 = \sqrt{6}-2$. Оба корня положительны, так как $\sqrt{6} > 2$.
Вспомним условие $x \ge y$, что эквивалентно $u \ge v$. Этому условию удовлетворяет только пара $u = \sqrt{6}+2$ и $v = \sqrt{6}-2$.
Находим $x$ и $y$:
$x = u^2 = (\sqrt{6}+2)^2 = 6 + 4\sqrt{6} + 4 = 10 + 4\sqrt{6}$.
$y = v^2 = (\sqrt{6}-2)^2 = 6 - 4\sqrt{6} + 4 = 10 - 4\sqrt{6}$.
Проверим решение. $x+y = (10+4\sqrt{6})+(10-4\sqrt{6}) = 20$. $\sqrt{x}-\sqrt{y}=u-v=(\sqrt{6}+2)-(\sqrt{6}-2)=4$. $2\sqrt{xy} = 2uv = 2(2) = 4$. Решение верное.
Ответ: $(10 + 4\sqrt{6}, 10 - 4\sqrt{6})$.